Версия 09:02, 9 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Арккосинус. Решение уравнения cost = а

§ 17.АРККОСИНУС. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ cost = а
В предыдущем параграфе мы отметили, что уравнение вида соs t =а для одних значений а мы решать умеем, а для других — нет. Так, для уравнения

Теперь рассмотрим уравнение (мы не смогли его решить  в примере 2 § 16). С помощью числовой окружности получаем (рис. 75):

Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке.
Они ввели в рассмотрение новый символ

Теперь все корни уравнения  можно описать двумя формулами:

Что же такое Это — число (длина дуги АМ), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности — отрезку
Замечание. Символ агссоs введенный математиками, содержит новый математический знак (агс), напоминание об исходной функции соs t (агссоs) и, наконец, напоминание о правой части уравнения, в приведенном нами случае о числе . Вот так в итоге и появился символ агссоs (состоящий как бы из трех частей).

Теперь рассмотрим уравнение С помощью числовой окружности (рис. 76) получаем:

Сформулируем определение арккосинуса в общем виде.

Определение. Если то агссос а (арккосинус а) — это такое число из отрезка [0, п], косинус которого равен а (рис. 77). Итак,

Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения соs t =а:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Замечание. Во всех этих формулах, если не оговорено противное, предполагается, что Об этом мы уже договорились выше.
Пример 1. Вычислить:

Решение:

Доказательство. Будем считать для определенности, что а > 0. Отметим агссоs а на числовой окружности — это длина дуги АМ и агссоs (-а) — длина дуги АР (рис. 78). Дуги АМ и РС симметричны относительно вертикального диаметра окружности, значит, длины этих дуг равны. Получаем:
агссоs а+агссоs (~а)=АМ+АР=РС+АР=АС = п.   
На практике полученное соотношение удобнее использовать в следующем виде:

При этом учитывают, что в случае, когда а> 0, значения агссоs а принадлежат первой четверти числовой окружности.

Например, агссоз
Такой же результат был получен выше при решении примера 1б.
Пример 2. Решить уравнения:

Решение: а) Составим формулу решений:

Вычислим значение арккосинуса:

Подставим найденное значение в формулу решений:

Вычислить значение арккосинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г)    Так как -1,2 <—1, то уравнение соs <=-1,2 не имеет решений (переходить здесь к арккосинусу не имеет смысла).   
Пример 3. Решить неравенства:
Решение: а) Учтем, что соs t — абсцисса точки М(t) числовой окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(t), лежащие на окружности, которые удовлетворяют неравенству пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 79). Неравенству  соответствуют точки открытой дуги КР. Дуга КР — это дуга с началом в точке К и концом в точке Р при движении по окружности против часовой стрелки. Главные «имена» точек К и Р в этом случае— соответственно   Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство:   а сама аналитическая запись дуги КР 3 3
л „ , л „ , имеет вид: - — + 2пк < X < — + 2пк. 3    3
б) Прямая х = 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 80). Неравенству х>0,3 соответствуют точки открытой дуги КР. Главные «имена» точек КиР в этом случае — соответственно -агссоз 0,3 и агссоз 0,3. Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство:

а сама аналитическая запись дуги КР имеет вид
в) Прямая х = - 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 81). Неравенству х <- 0,3 соответствуют точки открытой дуги РК. Дуга РК — это дуга с началом в точке Р и концом в точке К при движении по окружности против часовой стрелки. Главные «имена» точек Р и К — соответственно агссоз (-0,3) и 2л- агссоз(-0^). Значит, ядром аналитической записи дуги РК является неравенство:
агссоз(-ОЗ) < < < 2л - агссоз(-0,3), а сама аналитическая запись дуги РК имеет вид

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.