Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

KNOWLEDGE HYPERMARKET

 		Версия 11:21, 30 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
 (Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
← Предыдущая правка
		Версия 11:39, 30 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 3:
Строка 3:
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика:Свойства перпендикулярных прямой и плоскости'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика:Свойства перпендикулярных прямой и плоскости'''  
  
  + <br> <br> 
  
- <br> + &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ''' 
  
- &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ''' + <br>Теорема 17.3. '''''Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.'''''  
  
- <br>Теорема 17.3. '''''Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.''''' + Доказательство. Пусть а<sub>1</sub> и а<sub>2</sub> — две параллельные прямые и [[Image:24-06-52.jpg]] — плоскость, перпендикулярная прямой&nbsp; а<sub>1</sub> (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а<sub>2</sub>.
  
- Доказательство. Пусть аi и аj — две параллельные прямые и а — плоскость, перпендикулярная прямой с, (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а_'.<br>Проведем через точку Aj пересечения прямой а- с плоскостью сс произвольную прямую -Yj в плоскости сс. Проведем в плоскости а через точку А пересечения прямой а с сс прямую х\, параллельную прямой х_. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости а, то прямые а их перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые flj и Х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости сс. А это + Проведем через точку A<sub>2</sub> пересечения прямой а<sub>2</sub> с плоскостью [[Image:24-06-52.jpg]] произвольную прямую x<sub>2</sub> в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А пересечения прямой а с [[Image:24-06-52.jpg]] прямую х1<sub></sub>, параллельную прямой х<sub>2</sub>. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а<sub>2</sub> и х<sub>2</sub> тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. А это  
  
  + <br> 
  
  + [[Image:30-06-24.jpg]]<br>&nbsp;<br>значит, что прямая а<sub>2</sub> перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Теорема доказана.
  
- [[Image:30-06-24.jpg]]<br>&nbsp;<br>значит, что прямая Дг перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.<br>Задача (12). Докажите, что через любую точку А I можно&nbsp; провести&nbsp;&nbsp; прямую,&nbsp;&nbsp; перпендикулярную&nbsp; данной плоскости а.<br>Решение. Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые fc и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости Р и у, перпендикулярные прямым fc и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым fc и с, значит, и плоскости а. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости а.<br>И fc — две прямые, пер-\|<br>Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.<br>Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости а (рис. 360).&nbsp;&nbsp; Допустим,&nbsp;&nbsp; что&nbsp;&nbsp; прямые&nbsp;&nbsp; а и b не параллельны.<br>Выберем на прямой fc точку С, не лежащую в плоскости а. Проведем через точку С прямую fc', параллельную прямой а. Прямая fc' перпендикулярна плоскости а (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых fc и fc' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым fc и fc'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. + Задача (12). Докажите, что через любую точку А можно&nbsp; провести&nbsp;&nbsp; прямую,&nbsp;&nbsp; перпендикулярную&nbsp; данной плоскости [[Image:24-06-52.jpg]].
  
  + Решение. Проведем в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости [[Image:24-06-53.jpg]] и [[Image:24-06-56.jpg]], перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]].
  
  + Теорема 17.4. '''''Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.'''''
  + 
  + Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] (рис. 360).&nbsp;&nbsp; Допустим,&nbsp;&nbsp; что&nbsp;&nbsp; прямые&nbsp;&nbsp; а и b не параллельны.
  + 
  + Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем через точку С прямую b', параллельную прямой а. Прямая b' перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых b и b' с плоскостью [[Image:24-06-52.jpg]]. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. 
  + 
  + <br> 
  
- [[Image:30-06-25.jpg]]<br><br>&nbsp; + [[Image:30-06-25.jpg]]<br><br>&nbsp;  
  
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>    <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 11:39, 30 июня 2010
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Свойства перпендикулярных прямой и плоскости 

 
 
                                                 СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 

Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 
Доказательство. Пусть а₁ и а₂ — две параллельные прямые и  — плоскость, перпендикулярная прямой  а₁ (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а₂.
Проведем через точку A₂ пересечения прямой а₂ с плоскостью  произвольную прямую x₂ в плоскости . Проведем в плоскости  через точку А пересечения прямой а с  прямую х1, параллельную прямой х₂. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости , то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а₂ и х₂ тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости . А это 

 

 
значит, что прямая а₂ перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.
Задача (12). Докажите, что через любую точку А можно  провести   прямую,   перпендикулярную  данной плоскости .
Решение. Проведем в плоскости  две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости  и , перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости .
Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости  (рис. 360).   Допустим,   что   прямые   а и b не параллельны.
Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b', параллельную прямой а. Прямая b' перпендикулярна плоскости  (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых b и b' с плоскостью . Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. 

 


  

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 
_{Книги, учебники математике скачать, конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн} 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D0%B8_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8»
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика:Свойства перпендикулярных прямой и плоскости'''
+<br> <br>
-<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ'''
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ'''
+<br>Теорема 17.3. '''''Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.'''''
-<br>Теорема 17.3. '''''Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.'''''
+Доказательство. Пусть а<sub>1</sub> и а<sub>2</sub> — две параллельные прямые и [[Image:24-06-52.jpg]] — плоскость, перпендикулярная прямой&nbsp; а<sub>1</sub> (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а<sub>2</sub>.
-Доказательство. Пусть аi и аj — две параллельные прямые и а — плоскость, перпендикулярная прямой с, (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а_'.<br>Проведем через точку Aj пересечения прямой а- с плоскостью сс произвольную прямую -Yj в плоскости сс. Проведем в плоскости а через точку А пересечения прямой а с сс прямую х\, параллельную прямой х_. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости а, то прямые а их перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые flj и Х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости сс. А это
+Проведем через точку A<sub>2</sub> пересечения прямой а<sub>2</sub> с плоскостью [[Image:24-06-52.jpg]] произвольную прямую x<sub>2</sub> в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А пересечения прямой а с [[Image:24-06-52.jpg]] прямую х1<sub></sub>, параллельную прямой х<sub>2</sub>. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а<sub>2</sub> и х<sub>2</sub> тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. А это
+<br>
+[[Image:30-06-24.jpg]]<br>&nbsp;<br>значит, что прямая а<sub>2</sub> перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Теорема доказана.
-[[Image:30-06-24.jpg]]<br>&nbsp;<br>значит, что прямая Дг перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.<br>Задача (12). Докажите, что через любую точку А I можно&nbsp; провести&nbsp;&nbsp; прямую,&nbsp;&nbsp; перпендикулярную&nbsp; данной плоскости а.<br>Решение. Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые fc и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости Р и у, перпендикулярные прямым fc и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым fc и с, значит, и плоскости а. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости а.<br>И fc — две прямые, пер-\|<br>Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.<br>Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости а (рис. 360).&nbsp;&nbsp; Допустим,&nbsp;&nbsp; что&nbsp;&nbsp; прямые&nbsp;&nbsp; а и b не параллельны.<br>Выберем на прямой fc точку С, не лежащую в плоскости а. Проведем через точку С прямую fc', параллельную прямой а. Прямая fc' перпендикулярна плоскости а (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых fc и fc' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым fc и fc'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
+Задача (12). Докажите, что через любую точку А можно&nbsp; провести&nbsp;&nbsp; прямую,&nbsp;&nbsp; перпендикулярную&nbsp; данной плоскости [[Image:24-06-52.jpg]].
+Решение. Проведем в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости [[Image:24-06-53.jpg]] и [[Image:24-06-56.jpg]], перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]].
+Теорема 17.4. '''''Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.'''''
+Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] (рис. 360).&nbsp;&nbsp; Допустим,&nbsp;&nbsp; что&nbsp;&nbsp; прямые&nbsp;&nbsp; а и b не параллельны.
+Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем через точку С прямую b', параллельную прямой а. Прямая b' перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых b и b' с плоскостью [[Image:24-06-52.jpg]]. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
+<br>
 [[Image:30-06-25.jpg]]<br><br>&nbsp;
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: