Версия 08:23, 14 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Иррациональные уравнения

                            ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.
Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение, мы с этим уже встречались (см. замечание к примеру 3 из § 22). Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения.
Рассмотрим иррациональное уравнение

Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2х + 1 = З2. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению 2х + 1 = 9, возведя в квадрат обе части иррационального уравнения. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений. Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня? Из уравнения 2х + 1 = 9 находим х = 4.
Это — и корень уравнения 2х + 1 = 9, и заданного иррационального уравнения.
Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям. Рассмотрим, например, иррациональное уравнение

Возведя обе его части в квадрат, получим

Далее имеем:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; х = 1.
Но значение х - 1, будучи корнем рационального уравнения 2x - 5 = 4x - 7, не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив 1 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим . Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла? В подобных случаях говорят: х = 1 — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
Решим иррациональное уравнение

-
Корни этого уравнения можно найти устно, как мы это делали в конце предыдущего параграфа: их произведение равно - 38, а сумма равна - 17; нетрудно догадаться, что это — числа 2
и - 19. Итак, х₁ = 2, х₂ = - 19.
Подставив значение 2 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим

Это неверно.
Подставив значение - 19 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим

Это также неверно.
Каков же вывод? Оба найденные значения — посторонние корни. Иными словами, заданное иррациональное уравнение, как и предыдущее, не имеет корней.
Посторонний корень — не новое для вас понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка. Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).

Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Используя этот вывод, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:

Далее последовательно имеем

5х - 16 = х² - 4х + 4;
х² - 4х + 4 - 5х + 16 = 0;
х² - 9х + 20 = 0;
х₁ = 5, х₂ = 4.
Проверка. Подставив х = 5 в уравнение (1), получим — верное равенство. Подставив х = 4 в уравнение (1), получим — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения (1).
О т в е т: 4; 5.

Пример 2. Решить уравнение
(это уравнение встретилось нам в § 22 и его решение мы «отложили до лучших времен»).иррационального уравнения, получим
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2х)².
Далее имеем
2х² + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x²;
- 2х² + 184x - 1920 = 0;
х² - 92x + 960 = 0;
х₁ = 80, х² = 12.
Проверка. Подставив х = 80 в заданное иррациональное уравнение, получим

это, очевидно, неверное равенство, поскольку в его правой части содержится отрицательное число, а в левой — положительное число. Значит, х = 80 — посторонний корень для данного уравнения.

Подставив х = 12 в заданное иррациональное уравнение, получим

т. е. . = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения.
Ответ: 12.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:

Далее находим:
9 (x + 2) = 4 - 4х + х²;
9х + 18 - 4 + 4х - x² = 0;
- x² + 13x + 14 = 0;
x² - 13x - 14 = 0;
x₁ = 14,  x₂ = -1.

Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим — неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень.
Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим
— верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2).
О т в е т: - 1.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде

возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в
исходное иррациональное уравнение.

Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = фс . Тогда получим 2у2 + у - 3 = 0 — квадратное
уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у1 = 1,
3
у2 = - -. Таким образом, задача свелась к решению двух
с*
уравнений:
3
2"
Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не
имеет корней (вы же помните, что у]х принимает только не-
отрицательные значения).
Ответ: 1.
Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретиче-
ским разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некото-
рый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадрат-
ных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при ре-
шении уравнений выполняют различные преобразования,
например:
член уравнения переносят из одной части уравнения в дру-
гую с противоположным знаком;
обе части уравнения умножают или делят на одно и то же
отличное от нуля число;
освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение
р(х)
= 0 уравнением р (х) = 0;
обе части уравнения возводят в квадрат.
Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате
некоторых преобразований могли появиться посторонние кор-
ни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все
найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все
это с теоретической точки зрения.
Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и
r(x) = s (х) называют равносильными, если они
имеют одинаковые корни (или, в частности,
если оба уравнения не имеют корней).
Обычно при решении уравнения стараются
заменить данное уравнение более простым, но
равносильным ему. Такую замену называют рав-
носильным преобразованием уравнения.
Равносильными преобразованиями уравне-
ния являются следующие преобразования:
1. Перенос членов уравнения из одной части
уравнения в другую с противоположными
знаками.
Например, замена уравнения
2х + 5 = 7х - 8
уравнением
2х - 7х = - 8 - 5
есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что
уравнения 2х + 5 = 7х -8и 2х - 7х = -8-5 равносильны.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и
то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения
0,5л;2 - 0,3* = 2
уравнением
Ъх2 - Зх = 20
(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносиль-
ное преобразование уравнения.
Неравносильными преобразованиями уравне-
ния являются следующие преобразования:
1. Освобождение от знаменателей, содержащих
переменные.
Например, замена уравнения
„2 л
х-2 х-2
уравнением х2 = 4 есть неравносильное преобразование урав-
нения. Дело в том, что уравнение хг = 4 имеет два корня: 2 и -
2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не
может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях
мы говорили так: х = 2 — посторонний корень.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Примеры приводить не будем, так как их было достаточно
много в этом параграфе.
Если в процессе решения уравнения применялось одно из
указанных неравносильных преобразований, то все найден-
ные корни надо проверить подстановкой в исходное уравне-
ние, поскольку среди них могут оказаться посторонние
корни.
11 Мордкович. Алгебра, учебник

_{Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн, видеоматериал по математике для 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.