KNOWLEDGE HYPERMARKET

Иррациональные уравнения
 
(1 промежуточная версия не показана)
Строка 3: Строка 3:
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Иррациональные уравнения'''  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Иррациональные уравнения'''  
-
<br> '''Иррациональные уравнения'''
+
<h2>Иррациональные уравнения</h2>
-
<br>Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным. <br>
+
Сегодняшний наш урок будет посвящен изучению уравнений, у которых переменная стоит под знаком квадратного или другого корня. Мы с вами попробуем на примерах уравнений подробно разобраться и научиться правильно решать иррациональные уравнения.
-
Иногда '''[[Что такое математическая модель|математическая модель]]''' реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение, мы с этим уже встречались (см. замечание к примеру 3 из § 22). Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения. <br>
+
Естественно, в первую очередь нам необходимо выяснить, какие же уравнения являются иррациональными. Давайте для начала озвучим определение такого уравнения.  
-
Рассмотрим иррациональное уравнение<br>
+
Уравнения называются иррациональными, если их переменная стоит под знаком корня.
-
[[Image:14-06-70.jpg|120px|Уравнение]]<br>Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2х + 1 = З2. Фактически от заданного '''[[Ірраціональні числа. Дійсні числа|иррационального]]''' уравнения мы перешли к рациональному уравнению 2х + 1 = 9, возведя в квадрат обе части иррационального уравнения. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений. Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня? Из уравнения 2х + 1 = 9 находим х = 4. <br>
+
А теперь давайте приведем примеры иррациональных уравнений и посмотрим, как они выглядят:
-
Это — и корень уравнения 2х + 1 = 9, и заданного иррационального уравнения. <br>
+
<br>
 +
[[Image:8kl_Irracion01.jpg|500x500px|иррац.числа]]
 +
<br>
 +
 +
<h2>Как решаются иррациональные уравнения</h2>
-
Метод '''[[Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень|возведения]]''' в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям. Рассмотрим, например, иррациональное уравнение <br>
+
Как правило, все иррациональные уравнения решаются в три этапа:
-
[[Image:14-06-71.jpg|120px|Уравнение]]<br>Возведя обе его части в квадрат, получим<br>
+
• Во-первых, для начала необходимо уединить корень. Что это значит? То есть, если мы видим, что слева от знака равенства кроме корня есть еще и другие функции или числа, то в этом случае нам необходимо все это перенести вправо и поменять знак. Что же касается левой стороны, то здесь должен остаться лишь радикал и без всяких коэффициентов.
-
[[Image:14-06-72.jpg|320px|Уравнение]]<br>Далее имеем: <br>
+
• Во-вторых, нам необходимо возвести в квадрат обе части этого уравнения. Но здесь не мешало бы быть внимательными и помнить, что к области значения корня относятся все неотрицательные числа. Из этого следует, что в иррациональном уравнении функция, которая расположена справа, также должна быть неотрицательной: g(x) ≥ 0.
-
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; х = 1. <br>
+
• В-третьих, и это будет логично, необходимо выполнить проверку. А такая необходимость может возникнуть потому, что на втором этапе при решении уравнения у нас могли появиться лишние корни. А чтобы от этих корней избавиться, нам нужно полученные числа-кандидаты взять и подставить в исходное уравнение. Ну, а потом, естественно, нужно проверить, получилось ли на самом деле верное числовое равенство.
-
Но значение х - 1, будучи корнем рационального уравнения 2x - 5 = 4x - 7, не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив 1 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим [[Image:14-06-73.jpg|Уравнение]] . Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его части содержатся '''[[Задачі до теми Перетворення виразів, що містять квадратні корені|выражения]]''', не имеющие смысла? В подобных случаях говорят: х = 1 — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней. <br>Решим иррациональное уравнение<br>
+
<h2>Решение иррационального уравнения</h2>
-
[[Image:14-06-74.jpg|480px|Уравнение]]<br>-<br>Корни этого уравнения можно найти устно, как мы это делали в конце предыдущего параграфа: их произведение равно - 38, а сумма равна - 17; нетрудно догадаться, что это — числа 2 и - 19. Итак, х<sub>1</sub> = 2, х<sub>2</sub> = - 19. <br>
+
А теперь, на приведенном примере, который был дан вначале нашего урока, попробуем разобраться с таким иррациональным уравнением.
-
Подставив значение 2 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим <br>
+
Посмотрев на это уравнение, мы видим, что в нем корень уже уединен, так как слева от знака равенства, кроме корня мы больше ничего не наблюдаем.
-
[[Image:14-06-75.jpg|320px|Уравнение]]<br><br>Это неверно. <br>
+
Теперь давайте возведем обе стороны этого уравнения в квадрат и смотрим, что в итоге у нас получится:
-
Подставив значение - 19 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим <br>
+
2x2 − 14x + 13 = (5 − x)2<br>
 +
2x2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x2<br>
 +
x2 − 4x − 12 = 0<br>
-
[[Image:14-06-76.jpg|420px|Уравнение]]<br><br>Это также неверно. <br>
+
Теперь, через дискриминант попробуем решить квадратное уравнение, которое у нас получилось:
-
Каков же вывод? Оба найденные значения — посторонние '''[[Степени и корни. Степенные функции. Основные результаты|корни]]'''. Иными словами, заданное иррациональное уравнение, как и предыдущее, не имеет корней. <br>
+
D = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 • 1 • (−12) = 16 + 48 = 64;<br>
 +
x1 = 6; x2 = −2<br>
-
Посторонний корень — не новое для вас понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка. Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»). Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в '''[[Задачі до уроку: Рівняння, що зводяться до квадратних|квадрат]]'''; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни. Используя этот вывод, рассмотрим несколько примеров. <br>
+
Вот мы с вами решили уравнение и теперь нам нужно всего лишь в исходное уравнение подставить полученные числа и таким образом выполнить его проверку.  
-
'''Пример 1.''' Решить уравнение <br>
+
Конечно же, можно поступить, еще более обдумано и итоговое решение, взять и упростить.
-
[[Image:14-06-77.jpg|320px|Уравнение]]<br><br>Решение. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:<br>
+
<h2>Как упростить решение?</h2>
-
[[Image:14-06-78.jpg|180px|Уравнение]]<br>Далее последовательно имеем 5х - 16 = х<sup>2</sup> - 4х + 4; <br>х<sup>2</sup> - 4х + 4 - 5х + 16 = 0; <br>х<sup>2</sup> - 9х + 20 = 0; <br>х<sub>1</sub> = 5, х<sub>2</sub> = 4. <br>'''Проверка'''. Подставив х = 5 в уравнение (1), получим [[Image:14-06-79.jpg|Решение]] — верное равенство. Подставив х = 4 в '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]''' (1), получим [[Image:14-06-80.jpg|Решение]] — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения (1). <br><br>
+
А теперь давайте попробуем ответить на вопрос, зачем нам необходимо в конце решения иррационального уравнения делать проверку? На этот вопрос, естественно вы ответите, что проверка необходима для того, чтобы мы могли быть уверены в том, что при выполнении подстановки наших корней с правой стороны от знака равенства, стоит неотрицательное число.  
-
'''Пример 2.''' <br>
+
Но ведь, нам и так известно, что в иррациональном уравнении арифметический квадратный корень уже по определению не может быть меньше нуля, поэтому число отрицательным также быть не может.
-
Решить уравнение<br>
+
Тогда возникает вопрос, что же, по сути, нам необходимо проверить? А все очень просто, нам нужно быть уверенными, что функция, которая стоит справа от знака равенства:
-
[[Image:14-06-81.jpg|180px|Уравнение]]<br>(это уравнение встретилось нам в § 22 и его решение мы «отложили до лучших времен»)иррационального уравнения, получим <br>
+
g(x) = 5 − x, была, естественно, неотрицательной:
-
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2х)<sup>2</sup>. <br>
+
g(x) ≥ 0
-
Далее имеем <br>
+
С этим мы выяснили, теперь давайте подставим наши корни в эту функцию и получим такой результат:
-
2х<sup>2</sup> + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x<sup>2</sup>; <br>- 2х<sup>2</sup> + 184x - 1920 = 0; <br>х<sup>2</sup> - 92x + 960 = 0; <br>х<sub>1 </sub>= 80, х<sup>2</sup> = 12. <br>Проверка. Подставив х = 80 в заданное иррациональное уравнение, получим <br>
+
g(x1) = g(6) = 5 − 6 = −1 < 0<br>
 +
g(x2) = g(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0<br>
-
[[Image:14-06-82.jpg|240px|Решение]]<br><br>это, очевидно, неверное равенство, поскольку в его правой части содержится '''[[Презентація уроку на тему «Додатні та від'ємні числа. Число 0»|отрицательное число]]''', а в левой — положительное число. Значит, х = 80 — посторонний корень для данного уравнения. Подставив х = 12 в заданное иррациональное уравнение, получим<br>
+
И к какому мы выводу пришли? Подставив корни в функцию, мы видим, что корень x1 = 6 нам совершенно не подходит, так как, подставив его в правую часть исходного уравнения, у нас вышло отрицательное число. Тогда, когда корень x2 = −2 нас вполне устраивает, так как:
-
[[Image:14-06-83.jpg|240px|Решение]]<br><br>т. е. .[[Image:14-06-84.jpg]] = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения. <br>
+
• Во-первых, потому, что этот корень и есть решением квадратного уравнения, так как был получен при помощи возведения в квадрат обеих сторон иррационального уравнения.<br>
-
Ответ: 12. <br>
+
• Во-вторых, потому, что при подстановке корня x2 = −2, в итоге, правая сторона исходного иррационального уравнения имеет положительное число. А так как это число положительно, то значит, что и область значений арифметического корня не нарушена.<br>
-
<br> [[Image:14-06-85.jpg|480px|Решение]] <br>
+
Вот мы с вами и решили алгоритм. Теперь вы видите, что, оказывается, решать уравнения с радикалами, не представляет никакой сложности. При решении таких уравнений во избежание вероятности получения лишних ответов, главное никогда не забывать делать проверку полученных корней.<br>
-
<br>Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2: <br>
+
<h2>Исторические факты о иррациональных величинах</h2>
-
[[Image:14-06-86.jpg|320px|Решение]]<br><br>Далее находим: <br>9 (x + 2) = 4 - 4х + х<sup>2</sup>; <br>9х + 18 - 4 + 4х - x<sup>2</sup> = 0; <br>- x<sup>2</sup> + 13x + 14 = 0; <br>x<sup>2</sup> - 13x - 14 = 0; <br>x<sub>1</sub> = 14,&nbsp; x<sub>2</sub> = -1. <br><br>Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим [[Image:14-06-87.jpg|120px|Решение]] — неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень.  
+
А известно ли вам, что в переводе с латыни такое слово, как «иррациональный» звучит, как «неразумный». Но еще интересен тот факт, что параллельно с термином «неразумный» или «иррациональный» математики средневековья иррациональные числа еще нарекали термином «surdus», что в переводе звучало, как «глухой» и «немой». Складывается такое впечатление, что ученые не сильно жаловали иррациональные числа, считая их чем-то «неразумным», что нельзя ни высказать, ни выслушать.  
-
Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим [[Image:14-06-88.jpg|80px|Решение]] — верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2).  
+
Но, если поначалу математики Древнего мира практически отказывались воспринимать иррациональные числа, то со временем начали проявлять пристальное внимание к таким объектам математики.
-
О т в е т: - 1.  
+
А знаете ли вы, что в период бурного развития математических наук и астрономии математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, длительное время отвергали иррациональные числа, хотя практически не могли обходиться без иррациональных величин.
-
'''Пример 4.'''
+
А знаете ли вы, откуда появилось такое современное обозначение квадратного корня? Оказывается, начиная с тринадцатого века, длились эволюционные изменения знака радикала. Впервые название квадратному корню дали итальянские математики от латинского слова Radix, что в переводе обозначало корень, а его сокращенным вариантом была буква R.
-
Решить уравнение [[Image:14-06-89.jpg|120px|Уравнение]]
+
<h2>Домашнее задание</h2>
-
Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде [[Image:14-06-90.jpg|120px|Уравнение]] возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в <br>исходное иррациональное уравнение. Но мы применим более изящный способ: введем новую '''[[Линейное уравнение с двумя переменными и его график|переменную]]''' у = [[Image:14-06-91.jpg]] . Тогда получим 2у<sub>2</sub> + у - 3 = 0 — квадратное уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у<sub>1</sub> = 1, у<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-92.jpg]]. Таким образом, задача свелась к решению двух [[Image:14-06-93.jpg]]<br>Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не имеет корней (вы же помните, что [[Image:14-06-94.jpg]] принимает только неотрицательные значения).  
+
Изучив тему иррациональных уравнений, выполните домашнее задание, решив данные уравнения, и дайте ответы на поставленные вопросы.
-
Ответ: 1.  
+
1. Решите данное уравнение:
-
Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретическим разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от '''[[Задачі до уроку на тему «Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів»|знаменателя]]''', т. е. заменяют уравнение&nbsp;[[Image:14-06-95.jpg|Уравнение]]= 0 уравнением р (х) = 0; обе части уравнения возводят в квадрат.
+
<br>
 +
[[Image:8kl_Irracion02.jpg|200x200px|иррац.числа]]
 +
<br>
 +
 +
Ответьте на вопросы:
-
Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все это с теоретической точки зрения.
+
• Как вы думаете, будет ли это уравнение иррациональным?<br>
 +
• Какой у этого уравнения показатель корня? Он будет отрицательным или неотрицательным?<br>
 +
• Какая в этом случае будет формула?<br>
 +
• Как вы будете решать это уравнение?<br>
-
'''''Определение.''''' Два уравнения f (x) = g (x) и r(x) = s (х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).
+
2. Решите данные уравнения и скажите, какие из них являются иррациональными?
-
 
+
-
Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.
+
-
 
+
-
Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
+
-
 
+
-
1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
+
-
 
+
-
Например, замена уравнения 2х + 5 = 7х - 8 уравнением 2х - 7х = - 8 - 5 есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения 2х + 5 = 7х -8&nbsp;&nbsp;&nbsp; и 2х - 7х = -8 - 5&nbsp; равносильны.
+
-
 
+
-
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
+
-
 
+
-
Например, замена уравнения 0,5x<sup>2 </sup>- 0,3x = 2 уравнением 5х<sup>2</sup> - Зх = 20
+
-
 
+
-
(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения. Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования: 1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные. <br>Например, замена уравнения [[Image:14-06-96.jpg|80px|Уравнение]] уравнением х<sup>2</sup> = 4 есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение х<sup>2</sup> = 4 имеет два корня: 2 и - 2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: х = 2 — посторонний корень. 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
+
-
 
+
-
Примеры приводить не будем, так как их было достаточно много в этом параграфе.
+
-
 
+
-
Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни. <br> <br> <sub></sub>
+
-
 
+
-
''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''
+
 +
<br>
 +
[[Image:8kl_Irracion03.jpg|500x500px|иррац.числа]]
<br>  
<br>  
-
<sub>[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса [[Математика|скачать]]</sub>
+
3. Решите уравнение:
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
'''<u>Содержание урока</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
+
   
   
-
'''<u>Практика</u>'''
+
<br>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
+
[[Image:8kl_Irracion04.jpg|200x200px|иррац.числа]]
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
+
<br>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
+
   
   
-
'''<u>Иллюстрации</u>'''
+
Дайте ответы на поставленные вопросы:
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
-
+
-
'''<u>Дополнения</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                         
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
+
-
'''<u></u>'''
+
-
<u>Совершенствование учебников и уроков
+
-
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
+
-
+
-
'''<u>Только для учителей</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
+
-
+
-
+
-
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
+
-
</u>
+
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
+
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
+
• Какое перед вами уравнение и является ли оно иррациональным?<br>
 +
• Какой показатель корня у этого уравнения?<br>
 +
• Как бы вы решали это уравнение?<br>
 +
• Сколько вы получили корней при решении этого уравнения?<br>
 +
• Нужна ли проверка этого уравнения?<br>
 +
• Каким методом можно воспользоваться, чтобы перейти от иррационального уравнения к рациональному?<br>
 +
• Существует ли вероятность появления постороннего корня в этом уравнении?<br>
 +
• Почему необходимо делать проверку корня?<br>
 +
• В каких случаях, при решении иррациональных уравнений проверка корней не требуется?<br>

Текущая версия на 17:32, 3 сентября 2015

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Иррациональные уравнения

Содержание

Иррациональные уравнения

Сегодняшний наш урок будет посвящен изучению уравнений, у которых переменная стоит под знаком квадратного или другого корня. Мы с вами попробуем на примерах уравнений подробно разобраться и научиться правильно решать иррациональные уравнения.

Естественно, в первую очередь нам необходимо выяснить, какие же уравнения являются иррациональными. Давайте для начала озвучим определение такого уравнения.

Уравнения называются иррациональными, если их переменная стоит под знаком корня.

А теперь давайте приведем примеры иррациональных уравнений и посмотрим, как они выглядят:


иррац.числа

Как решаются иррациональные уравнения

Как правило, все иррациональные уравнения решаются в три этапа:

• Во-первых, для начала необходимо уединить корень. Что это значит? То есть, если мы видим, что слева от знака равенства кроме корня есть еще и другие функции или числа, то в этом случае нам необходимо все это перенести вправо и поменять знак. Что же касается левой стороны, то здесь должен остаться лишь радикал и без всяких коэффициентов.

• Во-вторых, нам необходимо возвести в квадрат обе части этого уравнения. Но здесь не мешало бы быть внимательными и помнить, что к области значения корня относятся все неотрицательные числа. Из этого следует, что в иррациональном уравнении функция, которая расположена справа, также должна быть неотрицательной: g(x) ≥ 0.

• В-третьих, и это будет логично, необходимо выполнить проверку. А такая необходимость может возникнуть потому, что на втором этапе при решении уравнения у нас могли появиться лишние корни. А чтобы от этих корней избавиться, нам нужно полученные числа-кандидаты взять и подставить в исходное уравнение. Ну, а потом, естественно, нужно проверить, получилось ли на самом деле верное числовое равенство.

Решение иррационального уравнения

А теперь, на приведенном примере, который был дан вначале нашего урока, попробуем разобраться с таким иррациональным уравнением.

Посмотрев на это уравнение, мы видим, что в нем корень уже уединен, так как слева от знака равенства, кроме корня мы больше ничего не наблюдаем.

Теперь давайте возведем обе стороны этого уравнения в квадрат и смотрим, что в итоге у нас получится:

2x2 − 14x + 13 = (5 − x)2
2x2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x2
x2 − 4x − 12 = 0

Теперь, через дискриминант попробуем решить квадратное уравнение, которое у нас получилось:

D = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 • 1 • (−12) = 16 + 48 = 64;
x1 = 6; x2 = −2

Вот мы с вами решили уравнение и теперь нам нужно всего лишь в исходное уравнение подставить полученные числа и таким образом выполнить его проверку.

Конечно же, можно поступить, еще более обдумано и итоговое решение, взять и упростить.

Как упростить решение?

А теперь давайте попробуем ответить на вопрос, зачем нам необходимо в конце решения иррационального уравнения делать проверку? На этот вопрос, естественно вы ответите, что проверка необходима для того, чтобы мы могли быть уверены в том, что при выполнении подстановки наших корней с правой стороны от знака равенства, стоит неотрицательное число.

Но ведь, нам и так известно, что в иррациональном уравнении арифметический квадратный корень уже по определению не может быть меньше нуля, поэтому число отрицательным также быть не может.

Тогда возникает вопрос, что же, по сути, нам необходимо проверить? А все очень просто, нам нужно быть уверенными, что функция, которая стоит справа от знака равенства:

g(x) = 5 − x, была, естественно, неотрицательной:

g(x) ≥ 0

С этим мы выяснили, теперь давайте подставим наши корни в эту функцию и получим такой результат:

g(x1) = g(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g(x2) = g(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

И к какому мы выводу пришли? Подставив корни в функцию, мы видим, что корень x1 = 6 нам совершенно не подходит, так как, подставив его в правую часть исходного уравнения, у нас вышло отрицательное число. Тогда, когда корень x2 = −2 нас вполне устраивает, так как:

• Во-первых, потому, что этот корень и есть решением квадратного уравнения, так как был получен при помощи возведения в квадрат обеих сторон иррационального уравнения.

• Во-вторых, потому, что при подстановке корня x2 = −2, в итоге, правая сторона исходного иррационального уравнения имеет положительное число. А так как это число положительно, то значит, что и область значений арифметического корня не нарушена.

Вот мы с вами и решили алгоритм. Теперь вы видите, что, оказывается, решать уравнения с радикалами, не представляет никакой сложности. При решении таких уравнений во избежание вероятности получения лишних ответов, главное никогда не забывать делать проверку полученных корней.

Исторические факты о иррациональных величинах

А известно ли вам, что в переводе с латыни такое слово, как «иррациональный» звучит, как «неразумный». Но еще интересен тот факт, что параллельно с термином «неразумный» или «иррациональный» математики средневековья иррациональные числа еще нарекали термином «surdus», что в переводе звучало, как «глухой» и «немой». Складывается такое впечатление, что ученые не сильно жаловали иррациональные числа, считая их чем-то «неразумным», что нельзя ни высказать, ни выслушать.

Но, если поначалу математики Древнего мира практически отказывались воспринимать иррациональные числа, то со временем начали проявлять пристальное внимание к таким объектам математики.

А знаете ли вы, что в период бурного развития математических наук и астрономии математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, длительное время отвергали иррациональные числа, хотя практически не могли обходиться без иррациональных величин.

А знаете ли вы, откуда появилось такое современное обозначение квадратного корня? Оказывается, начиная с тринадцатого века, длились эволюционные изменения знака радикала. Впервые название квадратному корню дали итальянские математики от латинского слова Radix, что в переводе обозначало корень, а его сокращенным вариантом была буква R.

Домашнее задание

Изучив тему иррациональных уравнений, выполните домашнее задание, решив данные уравнения, и дайте ответы на поставленные вопросы.

1. Решите данное уравнение:


иррац.числа

Ответьте на вопросы:

• Как вы думаете, будет ли это уравнение иррациональным?
• Какой у этого уравнения показатель корня? Он будет отрицательным или неотрицательным?
• Какая в этом случае будет формула?
• Как вы будете решать это уравнение?

2. Решите данные уравнения и скажите, какие из них являются иррациональными?


иррац.числа

3. Решите уравнение:


иррац.числа

Дайте ответы на поставленные вопросы:

• Какое перед вами уравнение и является ли оно иррациональным?
• Какой показатель корня у этого уравнения?
• Как бы вы решали это уравнение?
• Сколько вы получили корней при решении этого уравнения?
• Нужна ли проверка этого уравнения?
• Каким методом можно воспользоваться, чтобы перейти от иррационального уравнения к рациональному?
• Существует ли вероятность появления постороннего корня в этом уравнении?
• Почему необходимо делать проверку корня?
• В каких случаях, при решении иррациональных уравнений проверка корней не требуется?

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F»

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: