• Ознакомить с новой информацией о биссектрисе угла;<br>
-
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
+
• Расширить знания учеников о том, что теорему о свойствах биссектрисы можно доказывать разными способами;<br>
+
• Развивать логическое мышление, интерес к математическим наукам, настойчивость и способность к анализу.<br>
-
<br>Задачи урока:
+
<h2>Задачи урока</h2>
-
*Формировать навыки в построении биссектрисы угла с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
+
• Расширить знания учеников о биссектрисе угла;<br>
-
*Проверить умение учащихся решать задачи.
+
• Закрепить навыки построения биссектрисы угла при помощи чертежных инструментов;<br>
+
• Получить дополнительные и интересные сведения по данной теме;<br>
+
• Дать сведения о значении теоремы в развитии математики;<br>
+
• Закрепить полученные знания путем решения задач;<br>
+
• Воспитывать усидчивость, любознательность и желание изучать математические науки.<br>
-
<br>
+
<h2>План урока</h2>
-
План урока:
+
1. Раскрытие главной темы урока о биссектрисе угла;<br>
+
2. Повторение пройденного материала;<br>
+
3. Занимательная информация о биссектрисе.<br>
+
4. Историческая справка, греческая геометрия.<br>
+
5. Домашнее задание.<br>
-
#Историческая справка, греческая геометрия.<br>
+
<h2>Биссектриса угла</h2>
-
#Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.<br>
+
-
#Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.<br>
+
-
#Задание для самостоятельной проверки.
+
-
<br>
+
Сегодняшний урок мы с вами посвятим теме биссектрисы. Давайте вспомним определения биссектрисы.<br>
-
<u>'''Историческая справка.'''</u><br>
+
Биссектрисой является геометрическое место точек, равноудаленное от сторон угла.<br>
-
'''Греческая геометрия.'''<br>
+
Если говорить проще, то биссектриса – это линия, разделяющая угол пополам.<br>
Биссектрисой угла - луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два других равных угла.<br>
-
+
-
Греческие авторы относят появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. и связывают его с именем Фалеса Милетского (639—548), вся научная деятельность которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно. Достоверно, по-видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают открытие ряда основных геометрических теорем (например, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.). Важнее, по-видимому, другое. Трудно допустить, чтобы наука, "хотя бы в зачаточном своем состоянии, была перенесена на треческую почву одним чел овеком. Важио то, что в Элладе в иных условиях экономических отношений и социальной жизни образовался класс, для того времени несомненно прогрессивный, не только усвоивший восточную культуру, но и развивший ее до неузнаваемой высоты, создавший, таким образом, уже свою высокую эллинскую культуру. В условиях быстро развивавшейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших точных измерений, не только очень скоро обнаружились противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде ее скудный материал перестал удовлетворять возросшим потребностям. Элементарные приемы непосредственного наблюдения восточной геометрии были бессильны перед новыми задачами. Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию от непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, — задач, узких при всей их важности, — и поставить ей неизмеримо более широкие задания. Этой тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрию в область гораздо более широких представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с интуицией начинает играть видную роль и абстрактная логика. Абстрактно-логический характер геометрии, который в Ионийской школе только намечался, подернулся, правда, несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у Платона и Аристотеля более здоровые формы и в Александрийской школе нашел свое завершение. Была создана наука, широкая по замыслу, богатая фактическим материалом и, несмотря на свой абстрактный характер, дающая ряд чрезвычайно важных практических применений. Больше того, можно сказать, что именно в абстрактной структуре, которую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по III в. до н. э., и коренится возможность ее многообразного конкретного использования.<br>
Самое слово «геометрия» недолго сохраняет свое первоначальное значение — измерения земли. Уже Аристотель ввел для такого измерения новый термин — геодезия. Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже стали понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается современным термином «метрическая геометрия». В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать только важнейших, с необычайной быстротой производятся установление и систематизация фактического материала классической геометрии. Нужно отметить, что нам известны лишь разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии; многие звенья и имена совершенно утрачены. Около IV в. до н. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием «Начал геометрии», имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие «Начала» по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.<br>
+
-
+
-
''Евклид жил в Александрии'' в эпоху, когда там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет. «Составитель Начал» — это прозвище сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии в наше время, по существу представляют собой переработку «Начал» Евклида.<br>
+
-
+
-
[[Image:13012011 0.jpg]]<br>
+
-
+
-
Материал, содержащийся в «Началах», по существу охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время. Метод построения геометрии у Евклида позже характеризовали словами — строить геометрию исключительно геометрическими средствами, не внося в нее чуждых ей элементов. Это означает прежде всего, что Евклид не прибегает к арифметическим средствам, т. е. к численным соотношениям. Равенство фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую. Равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий треугольник, а треугольник — в квадрат.<br>
+
-
+
-
Теорема Пифагора у Евклида имеет только то содержание, которое устанавливается его доказательством: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, может быть разложен на части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему совершенно чуждо. Но мало того, что Евклид не пользуется числовыми соотношениями, — он устанавливает геометрические соотношения, эквивалентные основным алгебраическим тождествам, установленным гораздо позже; этому посвящена почти половина второй книги «Начал».<br> Эпоха великих геометров (второй Александрийский период). Наиболее характерной чертой второй Александрийской эпохи является то, что она принесла с собой метрику, которой геометрии Евклида не доставало. Ту задачу, которую Евклид, может быть, сознательно обходил, — измерение, — Архимед поставил во главу угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным направлением, которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда борьба между отдельными греческими государствами за независимость и за гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же его протекла в годы, когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В III в. до н. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась не в том, что он построил значительное число катапульт, а в том, что он установил теоретические основы, на которых в конечном счете и по сей день покоится машиностроение, — он фактически создал основы механики. <br> [[Image:14012011 7.gif|297x332px|14012011 7.gif]][[Image:14012011 8.jpg]]<br>
+
+
<br>
+
[[Image:7kl_Bissek01.jpg|200x200px|биссектриса]]
<br>
<br>
-
<br>
+
Слово «биссектриса» в переводе с французского языка обозначает, как надвое рассекающая или равноделящая угол пополам.
-
Механика требовала вычисления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метрической геометрии; на этом и сосредоточено внимание Архимеда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он преодолевает в том порядке, который по настоящее время остается по существу единственным средством не только практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, — путем составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было необходимо исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое слабое место греческой математики. Архимед пытался найти радикальные средства для преодоления трудностей счисления — этому посвящена его книга «Исчисление песка». К цели это не кривело. Это сочинение представляет собой лишнее свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных корней, необходимое для приближенного же вычисления длины окружности; этому посвящено особое, небольшое сочинение, по существу заключающее приближенное вычисление периметров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и описанного около нее.<br>
+
<h2>Биссектриса треугольника</h2>
-
Таким образом, творения Архимеда существенно отличаются от геометрии Евклида и по материалу и по методу; это — огромный шаг вперед, это — новая эпоха. В изложении этих достижений, однако, выдержана система Евклида: аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко продуманная цепь умозаключений, претендующая на совершенство сети силлогизмов. Но, как и система Евклида, геометрия Архимеда постоянно отдает щедрую дань интуиции, причем только рядом с геометрической интуицией здесь появляется интуиция механическая.<br>
+
Кроме биссектрисы угла еще бывает биссектриса треугольника, ведь треугольник содержит целых три угла, соответственно каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы.
-
Сочинения, посвященные истолкованию «Начал» появились рано. Первым комментатором Евклида был, по-видимому, еще Гемин Родосский, живший во II в. до н. э. занимались этим позднее Герои и Папп, а также Теон и другие, но их комментарии до нас либо вовсе не дошли, либо сохранились только в отрывках в передаче Прокла, который писал уже в V в. н. э. Комментарии Прокла сделались вскоре классическим произведением, с которым долго никто не конкурировал в деле истолкования «Начал». К тому же Прокл жил уже в эпоху полного упадка греческой науки, и на его долю выпало лишь подвести общий итог деятельности его великих предшественников. Значение комментаторов Евклида заключается главным образом, в том, что они выяснили слабые места его логической схемы. Не сделав еще ничего для существенного улучшения этой схемы, они указали те пути, по которым проникают в систему Евклида рассуждения, нарушающие выдержанную нить логических выводов. Немало было высказано насмешливых замечаний по поводу комментаторов Евклида: говорили, что они переливали из пустого в порожнее, делали ясное неясным. В этих упреках, конечно, много правды. Комментирование элементарного сочинения не требует больших знаний, и потому было написано много легкомысленных и бессодержательных сочинений по поводу «Начал» Евклида и по вопросу об основаниях геометрии вообще. Но никак нельзя отрицать того, что комментаторы Евклида, тщательно изучавшие «Начала» и глубоко их продумавшие, указали множество темных пунктов этого сочинения и отметили целый ряд свойств пространственных образов, которые должны лечь в основу логической системы геометрии.
+
Что же такое биссектриса треугольника? Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющим в треугольнике его вершину с точкой на противоположной стороне.
-
<br>
+
<br>
+
[[Image:7kl_Bissek02.jpg|500x500px|биссектриса]]
+
<br>
-
<u>'''Биссектриса угла.'''</u><br>
+
Биссектриса треугольник обладает определенными уникальными свойствами. Так, например, она разделяет противоположную сторону на отрезки, которые являют пропорциональными другим двум сторонам.
-
Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.<br>
+
<br>
+
[[Image:7kl_Bissek03.jpg|500x500px|биссектриса]]
+
<br>
-
Биссектриса угла (вместе с её продолжением) есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла (или их продолжений).<br> [[Image:14012011 5.png]][[Image:14012011 9.jpg|241x166px|14012011 9.jpg]]<br>
+
Что касается прямоугольного треугольника, то его биссектрисы именно острых углов, когда пересекаются, образуют угол именно в 45 градусов.
-
''Биссектрисы вертикального угла составляют продолжение одна другой. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. ''<br>
+
К тому же, не стоит забывать и такое свойство биссектрис треугольника, как то, что пересекаются они строго в центре вписанного в треугольник круга.
Ну а самое интересное то, что для равнобедренного треугольника линия, которая проведена к основанию, будет и биссектрисой, и медианой, и высотой. Соответственно и обратное правило, что если медиана, высота и биссектриса, которое проведены из одной вершины треугольника, совпадают, то перед нами равнобедренный треугольник.
-
'''Свойства.'''<br>
+
А какие вы можете вспомнить свойства прямоугольного и равнобедренного треугольника?
-
*Теорема о биссектрисе: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
+
<h2>Построение биссектрисы</h2>
-
*Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.<br>
+
-
*Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.<br>
+
-
*Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
+
-
*Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
Биссектрису угла строится с помощью транспортира, при использовнии его градусной меры. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла.
+
+
<br>
+
[[Image:7kl_Bissek04.jpg|500x500px|биссектриса]]
+
<br>
-
<u>'''Примеры задач.'''</u><br>
+
Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов.
-
'''Задача №1'''<br>
+
Развернутый угол при помощи биссектрисы разделяет угол на 2 прямых угла. Тупой же угол при построении биссектрисы разделяет его на 2 острых угла.
-
''Условие''<br>В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40<sup>o</sup>. Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?
+
Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, разделяющим угол пополам. Чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам.
-
''Подсказка''<br>Угол между биссектрисами смежных углов равен 90<sup>o</sup>.
+
<h2>Алгоритм построения биссектрисы угла</h2>
-
''Решение''<br>Пусть указанные биссектрисы пересекают луч AB в точках K и M соответственно. Тогда <br>
+
1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла таким образом, чтобы она пересекала его стороны.<br>
-
[[Image:14012011 10.jpg]]<br>
+
2. Далее делаем замеры циркулем расстояния между точками, где пересекается сторона угла с окружностью.<br>
-
+
-
''Ответ: 50''<sup>''о''</sup>.<br> <br>
+
-
+
-
'''Задача №2'''<br>
+
-
+
-
''Условие''<br>Дан угол с вершиной A. От точки A отложен на стороне отрезок AB; из точки B проведена прямая, параллельная второй стороне данного угла; на этой прямой отложен внутри угла отрезок BD, равный BA. Докажите, что прямая AD делит данный угол пополам.
+
-
+
-
''Подсказка''<br>AD — секущая при параллельных прямых.
+
-
+
-
''Решение''<br>Пусть M — точка на второй стороне угла, отличная от A. Тогда ∠MAD = ∠ADB (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AM и BD и секущей AD). Поскольку ∠ADB = ∠BAD (треугольник ABD — равнобедренный), то ∠MAD = ∠BAD. <br>[[Image:14012011 11.gif]]<br><br>
+
-
+
-
'''Задача №3'''<br>
+
-
+
-
Условие<br>
+
-
+
-
Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.<br>
+
-
+
-
''Подсказка''<br>Рассмотрите биссектрисы четырёх углов, образованных данными прямыми.
+
-
+
-
''Решение''<br>
+
-
+
-
Две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части. Если точка лежит на биссектрисе одного из четырёх полученных углов, то она равноудалена от данных прямых.<br>
+
-
+
-
Обратно, произвольная точка плоскости, не лежащая ни на одной из данных прямых, расположена внутри одного из углов. Если она равноудалена от данных прямых, то она лежит на биссектрисе этого угла. Очевидно, что точка пересечения данных прямых также удовлетворяет условию задачи. <br>
+
-
+
-
[[Image:14012011 12.gif]]<br>
+
+
<br>
+
[[Image:7kl_Bissek05.jpg|500x500px|биссектриса]]
<br>
<br>
-
''Ответ''<br>Две перпендикулярные прямые. <br>
+
3. Чертим 2 окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла.<br>
'''Корень из трех и его практическое применение.'''<br>
+
-
+
-
Сегодня я расскажу про замечательную пропорцию «корень из трех». Я покажу ее сакральный смысл, а под катом продемонстрирую пример из современного дизайна, который повергнет вас в шок ;)<br>
+
-
+
-
[[Image:14012011 13.jpg]]<br>
+
-
+
-
У нас получилась фигура ACBD, имеющая огромное значение для наших предков. Она называется Vescica Piscis (пузырь рыбы). Самый простой и важный пример — она давно является символом христианства.
Но чем же так примечательна фигура? Давайте вернемся к построениям. Соединим точки C и D, а из места их пересечения нарисуем еще одну окружность с радиусом AB. Нарисуем прямоугольник HKLM.<br>
+
4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он проходил через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла.<br>
-
+
-
[[Image:14012011 16.jpg]]<br>
+
<br>
-
+
[[Image:7kl_Bissek07.jpg|500x500px|биссектриса]]
-
Этот прямоугольник обладает замечательным свойством. Его высота относится к ширине ровно как корень их трех (√3 / 1). Корень из трех — это одно из основных иррациональных чисел, но основе которых строилось множество картин, зданий и просто предметов.<br>
+
<br>
-
+
-
Но если вы думаете, что это все старо, уныло и протухло, то вы ошибаетесь. Я обещал сюрприз. Готовы? Только громко не смейтесь.<br>
+
-
+
-
[[Image:14012011 17.jpg]]<br>
+
-
+
-
Да-да, это он. iPhone не идеально помещается в этот прямоугольник, но его размеры чрезвычайно близки. Мне кажется что это не совпадение вот почему.<br>Корень из трех — это примерно 1.732050…<br>Отношение сторон айфона первого поколения (115x61) примерно равно 1.88524.<br>iPhone 3G (115.5x61.8) — 1.8599<br>iPod Touch (110x61.8) — 1.779<br>
+
-
Смотрите, они стремятся к идеалу! Мешать им могут только тысячи технических причин.<br>
+
А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п.
-
[[Image:14012011 18.jpg]] Зайдем на apple.com<br>
+
2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами.
-
Хм… Что-то мне этот центральный блок напоминает. А ну ка…
+
Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п.
Следовательно, 2 пары данных отрезков равны, поскольку являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Отсюда следует, что по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что когда треугольники равны, то равны и их углы. Поэтому при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, следовательно, что построенный луч будет биссектрисой.
-
Обратите внимание как потрясающе дизайны Apple используют эту разметочную сетку. Этому геометрическому построению я даже не знаю сколько сотен лет. Оно использовалось в иконах, храмах, скульптурах. Современные дизайнеры мастерски используют его в обычных коммерческих вещах и оно продолжает безотказно работать.<br>
+
{{#ev:youtube|AR410L93AcA}}
-
----
+
{{#ev:youtube|2YkUQKaS0O8}}
-
<u>'''Вопросы:'''</u><br>
-
#Что такое биссектриса?
+
<h2>Занимательная информация о биссектрисе</h2>
-
#Как она делит угол?
+
-
#Как построить биссектрису с помощью циркуля и линейки?
+
-
<u>'''Список использованных источников:'''</u>
+
Знали ли вы, что существует такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
-
#Урок на тему "Биссектриса" Автор: Крыжов В.А., г. Кривой Рог
+
<br>
-
#Урок на тему "Углы" Автор: Марина Александровна, г. Киев<br>
+
[[Image:7kl_Bissek08.jpg|500x500px|биссектриса]]
-
#Дм. Ефремов, Новая геометрия треугольника.<br>
+
<br>
-
#Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004.
+
-
#Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005).<br>
+
Известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью
+
определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д.
-
----
+
<h2>Легенда о биссектрисе угла</h2>
-
<u>'''Над уроком работали:'''</u>
+
'''Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.'''
-
Крыжов В.А.
+
Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они приняли решение провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и возглавить Геометрию.
-
Марина Александровна
+
И вот настало долгожданное время турнира, на котором было 2 Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший, и победа все равно оказалась на стороне Биссектрисы.
-
Постурнак С.А.
+
Биссектриса была счастлива, представляя себя в роли правительницы. Но старший Угол с младшим сдаваться не собирались и решили проучить заносчивую злодейку.
-
----
+
Биссектриса, радуясь и торжествуя победу, даже не обратила внимание, что вместо 2-х ее противников возник Смежный угол, который в один момент победил Биссектрису.
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
+
С того момента Биссектрисе пришлось служить королю, а два Угла стали одним целым со Смежным Углом и яро защищают Геометрию от всяких врагов.
• Пополнить знания школьников о биссектрисе угла и ее свойствах;
• Ознакомить с новой информацией о биссектрисе угла;
• Расширить знания учеников о том, что теорему о свойствах биссектрисы можно доказывать разными способами;
• Развивать логическое мышление, интерес к математическим наукам, настойчивость и способность к анализу.
Задачи урока
• Расширить знания учеников о биссектрисе угла;
• Закрепить навыки построения биссектрисы угла при помощи чертежных инструментов;
• Получить дополнительные и интересные сведения по данной теме;
• Дать сведения о значении теоремы в развитии математики;
• Закрепить полученные знания путем решения задач;
• Воспитывать усидчивость, любознательность и желание изучать математические науки.
План урока
1. Раскрытие главной темы урока о биссектрисе угла;
2. Повторение пройденного материала;
3. Занимательная информация о биссектрисе.
4. Историческая справка, греческая геометрия.
5. Домашнее задание.
Биссектриса угла
Сегодняшний урок мы с вами посвятим теме биссектрисы. Давайте вспомним определения биссектрисы.
Биссектрисой является геометрическое место точек, равноудаленное от сторон угла.
Если говорить проще, то биссектриса – это линия, разделяющая угол пополам.
Биссектрисой угла - луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два других равных угла.
Слово «биссектриса» в переводе с французского языка обозначает, как надвое рассекающая или равноделящая угол пополам.
Биссектриса треугольника
Кроме биссектрисы угла еще бывает биссектриса треугольника, ведь треугольник содержит целых три угла, соответственно каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы.
Что же такое биссектриса треугольника? Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющим в треугольнике его вершину с точкой на противоположной стороне.
Биссектриса треугольник обладает определенными уникальными свойствами. Так, например, она разделяет противоположную сторону на отрезки, которые являют пропорциональными другим двум сторонам.
Что касается прямоугольного треугольника, то его биссектрисы именно острых углов, когда пересекаются, образуют угол именно в 45 градусов.
К тому же, не стоит забывать и такое свойство биссектрис треугольника, как то, что пересекаются они строго в центре вписанного в треугольник круга.
Ну а самое интересное то, что для равнобедренного треугольника линия, которая проведена к основанию, будет и биссектрисой, и медианой, и высотой. Соответственно и обратное правило, что если медиана, высота и биссектриса, которое проведены из одной вершины треугольника, совпадают, то перед нами равнобедренный треугольник.
А какие вы можете вспомнить свойства прямоугольного и равнобедренного треугольника?
Построение биссектрисы
Биссектрису угла строится с помощью транспортира, при использовнии его градусной меры. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла.
Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов.
Развернутый угол при помощи биссектрисы разделяет угол на 2 прямых угла. Тупой же угол при построении биссектрисы разделяет его на 2 острых угла.
Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, разделяющим угол пополам. Чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам.
Алгоритм построения биссектрисы угла
1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла таким образом, чтобы она пересекала его стороны.
2. Далее делаем замеры циркулем расстояния между точками, где пересекается сторона угла с окружностью.
3. Чертим 2 окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла.
4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он проходил через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла.
А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п.
2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами.
Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п.
Следовательно, 2 пары данных отрезков равны, поскольку являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Отсюда следует, что по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что когда треугольники равны, то равны и их углы. Поэтому при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, следовательно, что построенный луч будет биссектрисой.
Занимательная информация о биссектрисе
Знали ли вы, что существует такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
Известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью
определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д.
Легенда о биссектрисе угла
Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.
Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они приняли решение провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и возглавить Геометрию.
И вот настало долгожданное время турнира, на котором было 2 Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший, и победа все равно оказалась на стороне Биссектрисы.
Биссектриса была счастлива, представляя себя в роли правительницы. Но старший Угол с младшим сдаваться не собирались и решили проучить заносчивую злодейку.
Биссектриса, радуясь и торжествуя победу, даже не обратила внимание, что вместо 2-х ее противников возник Смежный угол, который в один момент победил Биссектрису.
С того момента Биссектрисе пришлось служить королю, а два Угла стали одним целым со Смежным Углом и яро защищают Геометрию от всяких врагов.
