• Расширить знания школьников о свойствах равнобедренных треугольников;<br>
+
• Закрепить теоретические знания при решении задач.<br>
-
<br>
+
<h2>Задачи урока</h2>
-
[[Image:O.gif]] Как раньше мы уже вспоминали ''треугольник ''это простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.<br>
+
• Уметь формулировать, доказывать и использовать теорему о свойствах равнобедренного треугольника в процессе решения задач;<br>
+
• Продолжать развитие сознательного восприятия учебного материала, логического мышления, навыков самоконтроля и самооценки;<br>
+
• Вызвать познавательный интерес к урокам математики;<br>
+
• Воспитывать активность, любознательность и организованность.<br>
-
[[Image:O.gif]] ''Треугольник называется равнобедренным'', если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.<br>
+
<h2>План урока</h2>
-
''Основная высота'' - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине. <br>''Полуподобные равнобедренные треугольники'' - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого. <br>''Половинноподобные равнобедренные треугольники'' - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого. <br>
+
1. Общие понятия и определения о равнобедренном треугольнике.<br>
[[Image:T.gif]]'''Теорема 4.3. '''В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.<br>
+
Равнобедренный треугольник - это треугольник, имеющий две равные стороны, которые называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, а его третья сторона называется основанием.
-
''Доказательство:''<br>Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.<br><br>'''[[Image:T.gif]] Теорема 4.4.''' Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br><br>[[Image:12112010.png]]<br>Рисунок 1.<br><br>''Доказательство:''<br>Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.<br><br>Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.<br><br>
+
<br>
+
[[Image:7kl_Ravnobed01.jpg|500x500px|равнобедр]]
+
<br>
+
+
Вершиной данной фигуры есть та, которая расположена напротив его основания.
+
+
Угол, который лежит напротив основания называется углом при вершине этого треугольника, а два других угла называются углами при основании равнобедренного треугольника.
-
<u>'''Признаки равнобедренного треугольника.'''</u><br>[[Image:T.gif]] '''Теорема 4.5.''' Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.<br>
+
<h2>Виды равнобедренных треугольников</h2>
-
''Доказательство:''<br>Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.<br><br>'''[[Image:T.gif]] Теорема 4.6.''' Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.<br>
+
Равнобедренный треугольник, как и другие фигуры, может иметь разные виды. Среди равнобедренных треугольников встречаются остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равносторонние.
-
''Доказательство:''<br>В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.<br><br>
+
• Остроугольный треугольник имеет все острые углы. <br>
+
• У прямоугольного треугольника угол его вершины прямой, а при основании расположены острые углы.<br>
+
• Тупоугольный имеет тупой угол при вершине, а при его основании углы острые.<br>
+
• У равностороннего все его углы и стороны равны.<br>
+
+
<h2>Свойства равнобедренного треугольника</h2>
-
'''[[Image:T.gif]]Теорема 4.7.''' ''Третий признак равенства треугольников.'' Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.<br>[[Image:12112010 4.jpg]]<br>Рисунок 2.<br>К теореме 4.7<br><br>''Доказательство:''<br>Пусть Δ ABC и Δ A1B1C1 таковы, что AB = A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>; BC = B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> ; AC = A<sub>1</sub>C<sub>1</sub>.<br>
+
• Противолежащие углы в отношении равных сторон равнобедренного треугольника, равны между собой;<br>
-
''Доказательство от противного.''<br>Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что [[Image:12112010 1.gif]] одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.<br><br>Пусть Δ A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>2</sub> – треугольник, равный Δ ABC, у которого вершина C<sub>2</sub> лежит в одной полуплоскости с вершиной C<sub>1</sub> относительно прямой A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>. По предположению вершины C<sub>1</sub> и C<sub>2</sub> не совпадают. Пусть D – середина отрезка C<sub>1</sub>C<sub>2</sub>. Треугольники A<sub>1</sub>C<sub>1</sub>C<sub>2</sub> и B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>C<sub>2</sub> – равнобедренные с общим основанием C<sub>1</sub>C<sub>2</sub>. Поэтому их медианы A<sub>1</sub>D и B<sub>1</sub>D являются высотами. Значит, прямые A<sub>1</sub>D и B<sub>1</sub>D перпендикулярны прямой C<sub>1</sub>C<sub>2</sub>. A<sub>1</sub>D и B<sub>1</sub>D имеют разные точки A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub>, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C<sub>1</sub>C<sub>2</sub> можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. <br>
+
• Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.<br>
-
[[Image:12112010 2.jpg]]<br>
+
• Биссектриса, медиана и высота, направлена и проведена к основанию треугольника, совпадают между собой. <br>
-
[[Image:12112010 3.jpg]]<br>
+
• Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, (они совпадают) проведенных к основанию.<br>
-
<br>
+
• Противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника углы, всегда острые.<br>
-
'''Примеры решения задач.'''<br>
+
Данные свойства равнобедренного треугольника применяются при решении задач.
-
'''Задача №1.'''<br>Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.<br>'''Решение.'''<br>Для решения задачи воспользуемся следующими формулами:<br>[[Image:12112010 5.gif]]<br>где:<br>R - радиус описанной окружности<br>r - радиус вписанной окружности<br>p - полупериметр треугольника<br>S - площадь треугольника, при чем формула нахождения площади треугольника приведена для равнобедренного треугольника и является следствием формулы Герона для случая, когда a - длины одинаковых сторон, а b - длина третьей стороны.<br>Сначала найдем длину одинаковых сторон равнобедренного треугольника. Поскольку высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является одновременно и медианой, то, применив теорему Пифагора, получим:<br>a = √ (92 + 122 ) = √225 = 15<br>Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника<br>S = 1/2 * 24 √ ( ( 15 + 1/2 * 24 ) ( 15 - 1/2 * 24 ) ) = 12 √ ( 27 * 3 ) = 12 √ 81 = 108 см2<br>Откуда радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника<br>R = 15 * 15 * 24 / ( 4 * 108 ) = 12.5 см.<br>Радиус вписанной окружности<br>p = ( 15 + 15 + 24 ) / 2 = 27<br>r = 108 / 27 = 4<br>'''Ответ:''' 4 и 12,5 см. <br>
+
<h2>Домашнее задание</h2>
-
<br>
+
1. Дайте определение равнобедренного треугольника.<br>
+
2. В чем особенность этого треугольника?<br>
+
3. Чем отличается равнобедренный треугольник от прямоугольного?<br>
+
4. Назовите известные вам свойства равнобедренного треугольника.<br>
+
5. Как вы думаете, можно ли на практике проверить равенство углов при основании и как это сделать?<br>
-
'''Задача №2.'''<br>Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании.<br>'''Решение.'''<br>Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х.<br>Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то<br>2x + x + x = 180<br>4x = 180<br>x = 45<br>Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания равен 2 * 45 = 90 градусам.<br>'''Ответ:''' 45, 45, 90 градусов <br>
+
'''Задание'''
-
<br>
+
-
'''Задача №3.'''<br>Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см, а основание равно 10см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.<br>'''Решение.'''<br>''1-й способ.'' Применим формулу Герона.
+
А теперь давайте проведем небольшой блиц-опрос и узнаем, как вы усвоили новый материал.
-
Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет вид:<br>[[Image:12112010 6.gif]]<br>где а - длина боковых сторон, а b - длина основания.<br>Имеем:<br>S = 1/2 * 10 * √ (13 + 5 )( 13 - 5 ) = 5 √ 18 * 8 = 60 см<sup>2</sup><br>''2-й способ.'' Применим теорему Пифагора<br>Поскольку высота треугольника делит основание пополам, то длина половины основания будет равна 10 / 2 = 5 см .<br>Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник. Соответственно, высота основания будет равна:<br>h = √ 132 - 52 = √144 = 12 см<br>Площадь равнобедренного треугольника будет равна площади двух прямоугольных треугольников, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:<br>S = 5 * 12 / 2 = 30 см<sup>2</sup><br>Поскольку прямоугольных треугольников два, то общая площадь равнобедренного треугольника составит:<br>30 * 2 = 60 см<sup>2</sup> .<br>'''Ответ:''' Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см<sup>2</sup> .<br>
+
Послушайте внимательно вопросы и ответьте верно ли такое утверждение, что:
1. Треугольник можно считать равнобедренным, если у него две стороны равны?<br>
+
2. Биссектрисой называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны? <br>
+
3. Биссектрисой является отрезок, который делит угол, который соединяет вершину с точкой противоположной стороны пополам?<br>
-
----
+
'''Советы относительно решения задач о равнобедренном треугольнике:'''
-
<u>'''Интересный факт:'''</u>
+
1. Для определения периметра равнобедренного треугольника достаточно умножить длину боковой стороны на 2 и сложить это произведение с длиной основы треугольника.<br>
+
2. Если в задаче известны периметр и длина основы равнобедренного треугольника, то для нахождения длины боковой стороны достаточно отнять длину основы от периметра и найденную разницу разделить на 2.<br>
+
3. А чтобы найти длину основы равнобедренного треугольника, зная и периметр, и длину боковой стороны, необходимо всего лишь умножить боковую сторону на два и отнять это произведение от периметра нашего треугольника.<br>
-
В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской школы». <br>Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира.<br>
+
'''Задачи:'''
-
----
+
1. Среди треугольников на рисунке определите один лишний и объясните свой выбор:<br>
-
<br>
+
<br>
+
[[Image:7kl_Ravnobed02.jpg|500x500px|равнобедр]]
+
<br>
-
'''<u>Вопросы:</u>'''<br>
+
2. Определите, какие из изображенных на рисунке треугольников являются равнобедренными, назовите их основы и боковые стороны, а так же рассчитайте их периметр.<br>
-
#Что такое треугольник?<br>
+
<br>
-
#Особенности равнобедренного треугольника?<br>
+
[[Image:7kl_Ravnobed03.jpg|500x500px|равнобедр]]
-
#Признаки равенства треугольника?<br>
+
<br>
+
+
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 см. Найдите стороны этого треугольника, если одна из них больше на 3 см. Какое количество решений может иметь данная задача? <br>
-
<u>'''Список использованных источников:'''</u>
+
4. Известно, что если боковая сторона и противолежащий основе угол одного равнобедренного треугольника равен боковой стороне и углу другого, то эти треугольники будут равны. Докажите это утверждение.<br>
-
#Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
+
5. Подумайте и скажите, является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним? И будет ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?<br>
-
#Журнал "Прикладная геометрия".<br>
+
-
#Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. – 2-е изд., стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.<br>
+
-
#Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике /М. Я. Выгодский. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2002.
+
-
----
+
6. Если стороны равнобедренного треугольника равны 4 м и 5 м, то каков будет его периметр? Сколько решений может иметь эта задача?<br>
-
Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.
+
7. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 91 градусу, то чему равны остальные углы?<br>
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
+
8. Подумайте и ответьте, какие углы должны быть у треугольника, чтобы он одновременно был и прямоугольным, и равнобедренным?<br>
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
+
{{#ev:youtube|jbvSZBYF8Ro}}
-
<br>
-
[[Category:Математика_7_класс]]
+
<h2>Интересные факты</h2>
+
+
А кто из вас знает, что такое треугольник Паскаля? Задачку на построение треугольника Паскаля часто задают для проверки навыков элементарного программирования. Вообще треугольник Паскаля относиться к комбинаторике и теории вероятности. Так что же это за такой треугольник?
+
+
Треугольник Паскаля - это бесконечный арифметический треугольник или таблица в форме треугольника, которая сформирована при помощи биномиальных коэффициентов. Простыми словами, вершиной и сторонами этого треугольника являются единицы, а сам он заполнен суммами двух чисел, которые расположены выше. Складывать такой треугольник можно до бесконечности, но если его очертить, то мы получим равнобедренный треугольник с симметричными строками относительно его вертикальной оси.
<br>
<br>
+
[[Image:7kl_Ravnobed04.jpg|500x500px|равнобедр]]
+
<br>
+
+
Подумайте, а где в повседневной жизни вам приходилось встречать равнобедренные треугольники? Не правда ли, крыши домов и древних архитектурных сооружений очень напоминают их? А вспомните, какая основа у египетских пирамид? Где еще вам встречались равнобедренные треугольники?
+
+
Равнобедренные треугольники с древних времен выручали греков и египтян при определении расстояний и высот. Так, например, древние греки определяли с его помощью издалека расстояние до корабля в море. А древние египтяне определяли высоту своих пирамид благодаря длине отбрасываемой тени, т.к. она представляла собой равнобедренный треугольник.
+
+
Начиная с древних времен, люди уже тогда оценили красоту и практичность этой фигуры, так как формы треугольников нас окружают всюду. Передвигаясь по разным селениям, мы видим крыши домов и других сооружений, которые напоминают нам о равнобедренном треугольнике, зайдя в магазин, мы нам встречаются пакеты с продуктами и соками треугольной формы и даже некоторые человеческие лица имеют форму треугольника. Эта фигура настолько популярна, что ее можно встретить на каждом шагу.
• Познакомить учеников с равнобедренным треугольником;
• Продолжать формировать навыки построения прямоугольных треугольников;
• Расширить знания школьников о свойствах равнобедренных треугольников;
• Закрепить теоретические знания при решении задач.
Задачи урока
• Уметь формулировать, доказывать и использовать теорему о свойствах равнобедренного треугольника в процессе решения задач;
• Продолжать развитие сознательного восприятия учебного материала, логического мышления, навыков самоконтроля и самооценки;
• Вызвать познавательный интерес к урокам математики;
• Воспитывать активность, любознательность и организованность.
План урока
1. Общие понятия и определения о равнобедренном треугольнике.
2. Свойства равнобедренного треугольника.
3. Признаки равнобедренного треугольника.
4. Вопросы и задания.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник - это треугольник, имеющий две равные стороны, которые называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, а его третья сторона называется основанием.
Вершиной данной фигуры есть та, которая расположена напротив его основания.
Угол, который лежит напротив основания называется углом при вершине этого треугольника, а два других угла называются углами при основании равнобедренного треугольника.
Виды равнобедренных треугольников
Равнобедренный треугольник, как и другие фигуры, может иметь разные виды. Среди равнобедренных треугольников встречаются остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равносторонние.
• Остроугольный треугольник имеет все острые углы.
• У прямоугольного треугольника угол его вершины прямой, а при основании расположены острые углы.
• Тупоугольный имеет тупой угол при вершине, а при его основании углы острые.
• У равностороннего все его углы и стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника
• Противолежащие углы в отношении равных сторон равнобедренного треугольника, равны между собой;
• Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.
• Биссектриса, медиана и высота, направлена и проведена к основанию треугольника, совпадают между собой.
• Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, (они совпадают) проведенных к основанию.
• Противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника углы, всегда острые.
Данные свойства равнобедренного треугольника применяются при решении задач.
Домашнее задание
1. Дайте определение равнобедренного треугольника.
2. В чем особенность этого треугольника?
3. Чем отличается равнобедренный треугольник от прямоугольного?
4. Назовите известные вам свойства равнобедренного треугольника.
5. Как вы думаете, можно ли на практике проверить равенство углов при основании и как это сделать?
Задание
А теперь давайте проведем небольшой блиц-опрос и узнаем, как вы усвоили новый материал.
Послушайте внимательно вопросы и ответьте верно ли такое утверждение, что:
1. Треугольник можно считать равнобедренным, если у него две стороны равны?
2. Биссектрисой называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны?
3. Биссектрисой является отрезок, который делит угол, который соединяет вершину с точкой противоположной стороны пополам?
Советы относительно решения задач о равнобедренном треугольнике:
1. Для определения периметра равнобедренного треугольника достаточно умножить длину боковой стороны на 2 и сложить это произведение с длиной основы треугольника.
2. Если в задаче известны периметр и длина основы равнобедренного треугольника, то для нахождения длины боковой стороны достаточно отнять длину основы от периметра и найденную разницу разделить на 2.
3. А чтобы найти длину основы равнобедренного треугольника, зная и периметр, и длину боковой стороны, необходимо всего лишь умножить боковую сторону на два и отнять это произведение от периметра нашего треугольника.
Задачи:
1. Среди треугольников на рисунке определите один лишний и объясните свой выбор:
2. Определите, какие из изображенных на рисунке треугольников являются равнобедренными, назовите их основы и боковые стороны, а так же рассчитайте их периметр.
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 см. Найдите стороны этого треугольника, если одна из них больше на 3 см. Какое количество решений может иметь данная задача?
4. Известно, что если боковая сторона и противолежащий основе угол одного равнобедренного треугольника равен боковой стороне и углу другого, то эти треугольники будут равны. Докажите это утверждение.
5. Подумайте и скажите, является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним? И будет ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?
6. Если стороны равнобедренного треугольника равны 4 м и 5 м, то каков будет его периметр? Сколько решений может иметь эта задача?
7. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 91 градусу, то чему равны остальные углы?
8. Подумайте и ответьте, какие углы должны быть у треугольника, чтобы он одновременно был и прямоугольным, и равнобедренным?
Интересные факты
А кто из вас знает, что такое треугольник Паскаля? Задачку на построение треугольника Паскаля часто задают для проверки навыков элементарного программирования. Вообще треугольник Паскаля относиться к комбинаторике и теории вероятности. Так что же это за такой треугольник?
Треугольник Паскаля - это бесконечный арифметический треугольник или таблица в форме треугольника, которая сформирована при помощи биномиальных коэффициентов. Простыми словами, вершиной и сторонами этого треугольника являются единицы, а сам он заполнен суммами двух чисел, которые расположены выше. Складывать такой треугольник можно до бесконечности, но если его очертить, то мы получим равнобедренный треугольник с симметричными строками относительно его вертикальной оси.
Подумайте, а где в повседневной жизни вам приходилось встречать равнобедренные треугольники? Не правда ли, крыши домов и древних архитектурных сооружений очень напоминают их? А вспомните, какая основа у египетских пирамид? Где еще вам встречались равнобедренные треугольники?
Равнобедренные треугольники с древних времен выручали греков и египтян при определении расстояний и высот. Так, например, древние греки определяли с его помощью издалека расстояние до корабля в море. А древние египтяне определяли высоту своих пирамид благодаря длине отбрасываемой тени, т.к. она представляла собой равнобедренный треугольник.
Начиная с древних времен, люди уже тогда оценили красоту и практичность этой фигуры, так как формы треугольников нас окружают всюду. Передвигаясь по разным селениям, мы видим крыши домов и других сооружений, которые напоминают нам о равнобедренном треугольнике, зайдя в магазин, мы нам встречаются пакеты с продуктами и соками треугольной формы и даже некоторые человеческие лица имеют форму треугольника. Эта фигура настолько популярна, что ее можно встретить на каждом шагу.
