|
|
|
| (4 промежуточные версии не показаны) | | Строка 1: |
Строка 1: |
| - | <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Теорема Виета</metakeywords> | + | <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Теорема Виета, коэффициентами, теоремы Виета, квадратное уравнение, формула, дробь, выражение, переменную, положительное число, формул</metakeywords> |
| | | | |
| | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Теорема Виета)''' | | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Теорема Виета)''' |
| | | | |
| - | <br> '''Теорема Виета''' | + | <h2>Теорема Виета </h2> |
| | | | |
| - | <br>В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
| + | На этом уроке мы с вами будем изучать зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, которые были обнаружены благодаря математику из Франции Франсуа Виету. |
| | | | |
| - | <br> Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна [[Image:14-06-48.jpg]] , а произведение корней равно [[Image:14-06-49.jpg]] т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
| + | В случае когда приведенное квадратное уравнение[[Image:8kl_Vieta01.jpg|128x32px|виета]]имеет действительные корни, то сумма их будет равняться -p, а произведение - q, то есть |
| | | | |
| - | Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам [[Image:14-06-50.jpg]] <br><br>где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим
| + | <br> |
| | + | [[Image:8kl_Vieta02.jpg|592x39px|виета]] |
| | + | <br> |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-51.jpg]]<br><br>Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем
| + | Формулировка теоремы Виета звучит так: |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-52.jpg]]<br>Второе соотношение доказано: [[Image:14-06-53.jpg]]
| + | Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равняется его 2-му коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение - свободному члену. |
| | | | |
| - | <br>'''''Замечание.''''' Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
| + | Если мы имеем дело с неприведенным квадратным уравнением, то формулы Виета будут иметь следующий вид: |
| | | | |
| - | Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем:
| + | В общем случае квадратного уравнения (1) теорема Виета формулируется так: если x1 и x2 – корни уравнения (1), то: |
| | | | |
| - | x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q
| + | <br> |
| | + | [[Image:8kl_Vieta03.jpg|583x81px|виета]] |
| | + | <br> |
| | | | |
| - | т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. | + | Роль теоремы Виета заключается в том, что когда корни квадратного трехчлена не известны, то легко можно вычислить их сумму и произведение, т.е. простейшие симметричные многочлены от двух переменных х1 +х2 и х1х2 . Благодаря теореме Виета появляется возможность определять целые корни полного квадратного уравнения. |
| | | | |
| - | С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда
| + | Пример. Используя теорему Виета попробуем найти корни уравнения: |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-54.jpg]]<br><br>Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
| + | х2 – 5х + 6 = 0 |
| | | | |
| - | <br>
| + | Решение. В соответствии с теоремой Виета, имеем: |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-55.jpg]]<br>Доказательство. Имеем
| + | х1 + х2 = 5 |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-56.jpg]]<br>'''<br>Пример 1'''. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br>Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = [[Image:14-06-57.jpg]]. <br>Воспользовавшись теоремой 2, получим <br>
| + | х1х2 = 6 |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-58.jpg]]<br><br>Есть смысл вместо [[Image:14-06-59.jpg]] написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br>Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br>
| + | Теперь давайте подберем значения х1 и х2, что удовлетворяют этим равенствам. Мы видим, что ими оказываются соответствующие значения: |
| | | | |
| - | Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br>= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br>
| + | х1 = 2 и х2 = 3 |
| | | | |
| - | Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br>'''Пример 1'''. Сократить дробь <br>
| + | Вот мы и получили ответ. |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-60.jpg]]<br><br>Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br>
| + | <h2>Обратная теорема Виета</h2> |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-61.jpg]]<br><br>Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br>х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br>А теперь сократим заданную дробь:<br>
| + | Вот так выглядит обратная теорема Виета |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-62.jpg]]<br><br>'''Пример 3'''. Разложить на множители выражения: <br>а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; б)2x+[[Image:14-06-63.jpg]]-3<br>Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br>Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br>
| + | <br> |
| | + | [[Image:8kl_Vieta04.jpg|574x81px|виета]] |
| | + | <br> |
| | | | |
| - | у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br>Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br>б) Введем новую переменную у = [[Image:14-06-63.jpg]]. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br>2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br>y<sub>1</sub> = 1, y<sub>2</sub>= [[Image:14-06-64.jpg]]. Далее, используя теорему 2, получим: <br>
| + | <h2>Историческая справка о Франсуа Виете</h2> |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-65.jpg]]<br><br>Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>
| + | В шестнадцатом веке во Франции родился знаменитый математик и создатель знаменитой теоремы - Франсуа Виет. И хотя Виет по образованию был юристом, но все свое свободное время он отдавал занятиям математикой. Отдавая все свое время любимому занятию, Виет умудрился детально изучить труды всех известных математиков, как древних, так и современников и благодаря таким познаниям сумел разработать элементарную алгебру. |
| | | | |
| - | [[Image:14-06-66.jpg]]<br><br>В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br>если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br>С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
| + | Он разработал уже известные формулы Виета, которые дают зависимость между корнями и коэффициентами уравнения и ввел для них буквенные обозначения. |
| | | | |
| - | 1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3.
| + | <br> |
| | + | [[Image:8kl_Vieta05.jpg|500x500px|виета]] |
| | + | <br> |
| | | | |
| - | 2) х<sup>2</sup> + 11х + 30 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 30. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = -5, х<sub>2</sub> = -6. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
| + | <h2>Интересные факты</h2> |
| | | | |
| - | 3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
| + | • Известно ли вам, что Франсуа Виет, разработавший практически всю элементарную алгебру, был на самом деле юристом! В возрасте двадцати лет он начал практиковать адвокатуру, а позже перешел на работу секретарем в знатную семью и начал преподавать математику. Именно благодаря преподаванию Виет нашел свое призвание в математике. Именно он ввел в понятие алгебры символьные величины, даже если они были известны.<br> |
| | | | |
| - | 4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-67.jpg]], а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-67.jpg]] .
| + | • Кстати, первым человеком, который сделал предложение обозначать десятичные дроби, используя запятую, также был Франсуа Виет. А до того времени дроби имели довольно сложное изображение, ведь первоначально чтобы изобразить такую дробь, как 0,3469, нужно было написать целую непонятную абракадабру, которая выглядела так: 3(1)4(2)6(3)9(4). <br> |
| - | | + | |
| - | 5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
| + | |
| - | | + | |
| - | 6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | ''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''
| + | |
| - | | + | |
| - | <br>
| + | |
| - | | + | |
| - | <sub>[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса [[Математика|скачать]]</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | <br>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''<u>Содержание урока</u>'''
| + | |
| - | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''<u>Практика</u>'''
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''<u>Иллюстрации</u>'''
| + | |
| - | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''<u>Дополнения</u>'''
| + | |
| - | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
| + | |
| - | '''<u></u>'''
| + | |
| - | <u>Совершенствование учебников и уроков
| + | |
| - | </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''<u>Только для учителей</u>'''
| + | |
| - | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
| + | |
| - | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
| + | |
| - |
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
| + | |
| - | </u>
| + | |
| - | | + | |
| - | <br> | + | |
| | | | |
| - | Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
| + | • Франсуа Виет был так увлечен математикой, что мог работать без сна больше трех суток.<br> |
| | | | |
| - | Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
| + | • А еще Франсуа Виет был тем человеком, который ввел буквенные обозначения для величин и неизвестных. Благодаря этому он зародил мысль и внедрил в науку возможность выполнения алгебраических преобразований над символами и вывел такое понятие, как формула.<br> |
Текущая версия на 19:07, 26 мая 2015
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Теорема Виета)
Теорема Виета
На этом уроке мы с вами будем изучать зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, которые были обнаружены благодаря математику из Франции Франсуа Виету.
В случае когда приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то сумма их будет равняться -p, а произведение - q, то есть
Формулировка теоремы Виета звучит так:
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равняется его 2-му коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение - свободному члену.
Если мы имеем дело с неприведенным квадратным уравнением, то формулы Виета будут иметь следующий вид:
В общем случае квадратного уравнения (1) теорема Виета формулируется так: если x1 и x2 – корни уравнения (1), то:
Роль теоремы Виета заключается в том, что когда корни квадратного трехчлена не известны, то легко можно вычислить их сумму и произведение, т.е. простейшие симметричные многочлены от двух переменных х1 +х2 и х1х2 . Благодаря теореме Виета появляется возможность определять целые корни полного квадратного уравнения.
Пример. Используя теорему Виета попробуем найти корни уравнения:
х2 – 5х + 6 = 0
Решение. В соответствии с теоремой Виета, имеем:
х1 + х2 = 5
х1х2 = 6
Теперь давайте подберем значения х1 и х2, что удовлетворяют этим равенствам. Мы видим, что ими оказываются соответствующие значения:
х1 = 2 и х2 = 3
Вот мы и получили ответ.
Обратная теорема Виета
Вот так выглядит обратная теорема Виета
Историческая справка о Франсуа Виете
В шестнадцатом веке во Франции родился знаменитый математик и создатель знаменитой теоремы - Франсуа Виет. И хотя Виет по образованию был юристом, но все свое свободное время он отдавал занятиям математикой. Отдавая все свое время любимому занятию, Виет умудрился детально изучить труды всех известных математиков, как древних, так и современников и благодаря таким познаниям сумел разработать элементарную алгебру.
Он разработал уже известные формулы Виета, которые дают зависимость между корнями и коэффициентами уравнения и ввел для них буквенные обозначения.
Интересные факты
• Известно ли вам, что Франсуа Виет, разработавший практически всю элементарную алгебру, был на самом деле юристом! В возрасте двадцати лет он начал практиковать адвокатуру, а позже перешел на работу секретарем в знатную семью и начал преподавать математику. Именно благодаря преподаванию Виет нашел свое призвание в математике. Именно он ввел в понятие алгебры символьные величины, даже если они были известны.
• Кстати, первым человеком, который сделал предложение обозначать десятичные дроби, используя запятую, также был Франсуа Виет. А до того времени дроби имели довольно сложное изображение, ведь первоначально чтобы изобразить такую дробь, как 0,3469, нужно было написать целую непонятную абракадабру, которая выглядела так: 3(1)4(2)6(3)9(4).
• Франсуа Виет был так увлечен математикой, что мог работать без сна больше трех суток.
• А еще Франсуа Виет был тем человеком, который ввел буквенные обозначения для величин и неизвестных. Благодаря этому он зародил мысль и внедрил в науку возможность выполнения алгебраических преобразований над символами и вывел такое понятие, как формула.
|
