Текущая версия на 13:43, 12 февраля 2013

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Неравенство треугольника. Полные уроки

Тема урока

• Неравенство треугольника.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и теоремами связанными с треугольниками.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Из истории математики.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Пример решения задачи.
5. Задачи для самостоятельной проверки.

Из истории математики

Треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес ,  перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII  веке слово катет  начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII  века.

Евклид  употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Для начала в теме о неравенстве треугольника предлагаю вспомнить то что уже проходили, освежить в памяти уже изученное, а именно признаки равенства треугольников. Начнем пожалуй с исторической справки о признаках равенства треугольников. Что бы полностью разобраться в теме, что и как, когда и кем было написано и доказано.

Историческая справка о признаках равенства треугольников

Если мы обратимся к истории, то в самом первом учебнике по геометрии – «Началах» Евклида можно найти следующее определение: «Фигуры, совмещающиеся друг с другом равны между собой…». Прошло более двух тысяч лет, а определение не изменилось. Это определение о равенстве фигур можно отнести и к треугольникам.
- Итак, какие треугольники называются равными?
- Но всегда ли нам удаётся реально совместить треугольники?
- Действительно, иногда совместить треугольники нет возможности. Что же делать? Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника.  Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать. Что  такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков? Некоторые условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников.  Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Признак равенства треугольников

1-й признак равенства треугольников

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
∠A=∠A₁
AB=A₁B₁
AC=A₁C₁ Доказать:

ΔABC=ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

Так как  ∠А=∠А₁ ( по условию), то треугольник АВС можно наложить  на треугольник  А₁В₁С₁, так что вершина  А совместится  с вершиной А₁ , а стороны АВ и АС наложатся  соответственно  на лучи А₁В₁  и А₁С₁.  Поскольку АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, то  сторона  АВ совместится  со стороной А₁В₁, а сторона   -  АС состороной А₁С₁; в частности  совместятся точки В и В₁,  С и С₁. Следовательно, совместятся  стороны  ВС и В₁С₁. Итак, ∆АВС  и  ∆А₁В₁С₁  полностью  совместятся, значит они равны.

Теорема доказана.

2-й признак равенства треугольников

Теорема. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
ΔАВС, ΔА₁В₁С₁
∠A=∠А₁, ∠B=∠В₁
AB=А₁В₁

Доказать:
ΔАВС= ΔА₁В₁С₁

Доказательство:

Пусть A₁B₁C₁ – треугольник, равный треугольнику ABC. Так как AB = A₁B₁, то вершина B совпадает с вершиной B₁. Так как ∠ A = ∠ A₁ и ∠ B = ∠ B₁, то луч A₁C₁ совпадает с лучом AC, а луч B₁C₁ совпадает с лучом BC. Отсюда следует, что вершина С совпадает с вершиной С₁. Треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником ABC, а значит, равен треугольнику ABC.

Теорема доказана.

3-й признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

ΔАВС, ΔА₁В₁С₁
АВ=А₁B₁ ВС=В₁C₁ СА=С₁В₁

Доказать:ΔАВС=ΔА₁В₁С₁

Доказательство:

Пусть треугольники ABC и A₁B₁C₁ такие, что AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁. Требуется доказать, что треугольники равны.

Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A₁, ∠ B ≠ ∠ B₁, ∠ C ≠ ∠ C₁ одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть треугольник A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой A₁B₁.

Пусть D – середина отрезка С₁С₂. треугольники A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂ равнобедренные с общим основанием С₁С₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой С₁С₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С₁С₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника принимается за одну из аксиом расстояния в теории метрических пространств, также, часто является теоремой в различных теориях.

В определении говориться о том что сумма длин двух любых сторон треугольника не будет превышать длину третей стороны.Для внесения ясности рассмотрим это на иллюстрациях, но сначала еще одно определение, может кому то оно понравиться больше.

Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, т.е. AB < AC + CB для любых трех точек A, B, C, не лежащих на одной прямой. Для трех произвольных точек A, B, C выполняется нестрогое неравенство AB ≤ AC + CB, причем равенство AB = AC + CB имеет место, если точка C лежит на отрезке AB и только в этом случае.

Неравенство треугольника можно обобщить: длина отрезка меньше длины любой ломаной, соединяющей его концы.

Подведем черту в этих всех определениях:

Для каждого треугольника выполняется следующее правило - сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей.

Для запоминания можно использовать такое стихотворение:

Знает даже каждый школьник,
Что такое треугольник.
Но совсем не каждый знает
Замечательный закон:

Сторона его любая,
Даже самая большая,
Меньше суммы двух сторон.

Теорема. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Дано:  Треугольник ∆АВС  со сторонами  а, b, c

Докажем, что: a<b+c

(или b<a+c  и c<a+b).

Доказательство.

Большую сторону возьмем за a и покажем, что верно следующее равенство a<b+c. В остальных случаях утверждение теоремы очевидно. Проведем высоту AD (рис. а). Она лежит в треугольнике АВС. Действительно, если бы она лежала вне треугольника (рис. б), то a=BC не была больше остальных сторон (т.е. наклонная АВ будет больше проекции BD и AB>BC). Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы BD < AB = c и DC < AC = b. А BD+DC=BC=a. Поэтому a<b+c


Неравенство треугольника мы рассмотрели без доказательства при построении треугольника по трем сторонам. Итак, по неравенству треугольника: если большая сторона меньше суммы двух других сторон, то по трем сторонам можно построить треугольник.

В качестве примера рассмотрим задачу с двумя доказательствами.

Пример решения задачи

Расстояния от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно.

Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
   
Дано: АВ = 3 см, АС = 14 см, DB = 5 см, DC = 6 см.
   
Доказать: точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

   
Доказательство 1. Предположим, что точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки А и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, точки А и D (рис. а) лежат в разных полуплоскостях (рис. б). Доказательство для обоих случаев аналогично.
   
Из треугольника ABC в силу неравенства треугольника следует, что АС < АВ + ВС; 14 < 3 + BC; т. е. ВС > 11.

Из треугольника ABD следует неравенство ВС < BD + DC = 5 + 6, т. е. ВС < 11.

Пришли к противоречию, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
   
Доказательство 2. Воспользуемся неравенством треугольника, которое состоит в следующем: для любых трех точек Р, Q и R где PR < PQ + QP, причем PR = PQ + QR в том и только в том случае, когда точка Q лежит между Р и R.
   
Кроме того, АС = АВ + ВС =14, так что точка В лежит между А и С на прямой ВС. Но тогда и А лежит на прямой ВС.
   
Таким образом, все четыре точки лежат на прямой ВС, что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельной проверки

Задача №1

Построить при помощи циркуля и линейки треугольник ABC, так что AB=4 см, BC=3 см, CA= 7 см.

После построения приведите доказательство что такой треугольник может существовать.

Задача №2

Построить при помощи циркуля и линейки треугольник MNK, так что MN=12 см, NK=3см, MK=7 см.

После построения приведите доказательство что такой треугольник может существовать.

Задача №3

Построить при помощи циркуля и линейки треугольник FEO, так что FE=7 см, EO= 2 см, EF=4 см.

После построения приведите доказательство что такой треугольник может существовать.

Интересный факт

Иллюзия.

Предлагаю разобраться что же такое на самом деле иллюзия. Есть множество интересных картинок и видео в интернете по этому поводу некоторые из них покажу Вам.

Как всегда будем стараться придерживаться нашей любимой тематики, а именно геометрии.

Иллюзия (лат. illusio — заблуждение, обман) — искаженное восприятие реально существующего объекта или явления. Иллюзии могут возникать у психически здоровых людей (физические, физиологические иллюзии, метаморфопсии). Не следует забывать, что иллюзия, чаще всего просто обман глаз, т. к. глаз человека несовершенен.

Вопросы

1. Сколько признаков равенства треугольников Вы знаете?
2. О чем гласят признаки равенства?
3. О чем гласит теорема неравенства треугольника?

Список использованных источников

1. Никитич Татьяна Николаевна, учитель математики
2. Е.М. Рабинович «Задачи и упражнения на готовых чертежах.7-9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, 2001.
3. Е.Л. Мельникова «Проблемный урок или как открывать знания вместе с детьми» – Москва, 2002.

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Никитич Татьяна Николаевна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.