Текущая версия на 13:46, 30 марта 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Измерение отрезков. Полные уроки

Измерение отрезков

Д.И. Менделеев писал: "Наука начинается с тех пор, как начинают измерять: точная наука немыслима без меры".

Человек столкнулся с необходимостью измерений в глубокой древности, на раннем этапе своего развития – в практической жизни, в земледелии, строительстве своего жилья, дворцов своих властителей, храмов, в торговле. Людям потребовалось измерять расстояния, площади, объемы, веса, и, разумеется, время.

Первые единицы длины были весьма приблизительными. Они были связаны с размерами частей тела человека. В Англии и США до сих пор используются единицы длины "ступня" - фут (31 см), "большой палец" - дюйм (25,4 мм) и ярд (91 см.). Он был равен расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки. 1фут=12 дюймам.

Изучение в курсе математики школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины, которые  выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами.
Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные величины.
Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

• Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.
• Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС - с, есть сумма длин отрезков АВ и ВС. (Рис.1)

Файл:22102010.gif(Рис.1)

• Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a - длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС .(Рис.2)

(Рис.2)

• Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АB, b - длина отрезка BC, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ. (Рис.1)
• Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что  а= х b. Чаще это число - называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2. (Рис.2).
  

Длина отрезка определена единственным образом и является неотрицательным числом, равным расстоянию между его концевыми точками.
Сейчас самое время восстановить в памяти четыре определения, которые помогут нам понять способ измерения отрезков.

1. Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая" (например линейка), то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой.
2. Расстояние между точками А и В на прямой - это модуль разности их координат.
3. Длина отрезка, определенного A и B, есть модуль разности координат точек A и B.
4. Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.

Пусть дан отрезок AB. Если считать линейку частью числовой прямой и расположить AB вдоль линейки так, чтобы точка А совпала с нулем, то точка В будет расположена напротив числа, равного длине AB. Длина AB обозначается АВ.
Из определений Вам должно быть известно, что если ни один из концов отрезка не совпадает с нулем, то для вычисления длины отрезка необходимо найти модуль разности координат концевых точек.
При измерении длины отрезка мы предполагаем, что она определена единственным образом. То есть существует единственное число на числовой прямой такое, что если один из концов отрезка совместить с нулем, то второй совпадет с этим число Это предположение оправдано следующими аксиомами.
Расстояние между двумя точками A и B на числовой прямой определяется единственным образом.

Если один из концов данного отрезка совпадает с нулем, то координата второго определяется единственным образом.

Следующая аксиома позволяет нам складывать длины двух отрезков, чтобы получить длину третьего.

Если точка Q расположена между точками A и B, тогда сумма длин AQ и QB равняется длине AB.

Точка Р, лежащая между точками А и В, называется серединой отрезка AB, если АР = PB.
Середина отрезка единственна.

Измерить отрезок — это значит установить его длину в определенных единицах. Единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км). Между единицами длины (единичными отрезками) принято такое соотношение:

• 1 см — 10 мм;
• 1 дм — 10 см — 100 мм;
• 1 м — 10 дм- 100 см- 1 000 мм;
• 1 км — 1 000 м.

Наиболее распространенными инструментами для измерения длин отрезков являются: линейка (с разметкой в сантиметрах и миллиметрах) и рулетка (с сантиметровой, дециметровой и метровой разметкой). Для построения отрезков школьники применяют линейки с миллиметровой и сантиметровой разметкой.
Чтобы построить отрезок заданной длины, необходимо совместить точку начала отрезка и цифру 0 на линейке. Затем по шкале разметки на линейке надо найти длину отрезка и отметить точку конца отрезка. Начало и конец отрезка соединяют с помощью карандаша, не убирая линейки.
отрезок заданной длины

На этой линейке цифрами обозначено количество отрезков в сантиметрах (единичные отрезки в 1 см), мелкие деления — это единичные отрезки в 5 мм. Длина построенного отрезка — 50 мм, или 5 см 0 мм.

Кроссворд

По горизонтали:
1. Луч, делящий угол пополам.
4. Элемент треугольника.
5, 6, 7. Виды треугольника (по углам).
11. Математик древности.
12. Часть прямой.
15. Сторона прямоугольного треугольника.
16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

По вертикали:
2. Вершина треугольника.
3. Фигура в геометрии.
8. Элемент треугольника.
9. Вид треугольника (по сторонам).
10. Отрезок в треугольнике.
13. Треугольник, у которого две стороны равны.
14. Сторона прямоугольного треугольника.
17. Элемент треугольника.

Ответы:
По горизонтали:
1. Биссектриса.
4. Сторона.
5. Прямоугольный.
6. Остроугольный.
7. Тупоугольный.
11. Пифагор.
12. Отрезок.
15. Гипотенуза.
16. Медиана.

По вертикали:
2. Точка.
3. Треугольник.
8. Вершина.
9. Равносторонний.
10. Высота.
13. Равнобедренный.
14. Катет.
17. Угол.

Вопросы:

1. Что люди измеряли в глубокой древности?
2. Назовите еденицы длены в Англии и США.
3. Что такое длина отрезка?
4. Чему равен 1 децеметр?
5. Назовите приборы для измерения длены.

Список использованных источников:

1. Александров А.Д. Основания геометрии. Изд. «НАУКА»
2. Открытая математика 2.5. Планиметрия
   
3. М. А. Максимовская. Математика (5-11 кл.). М.: ООО «Агентство « Олимп»: ООО « Издательство АСТ», 2002.
   
4. П. И. Алтынов. Математика. 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы. М., издательский дом «Дрофа», 1999.
   
5. Газета «Математика» № 25, 2000 год.
   

Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.

Над уроком работали:

Потурнак С.А.

Муха Р.Л.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.