Версия 20:12, 3 февраля 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Прямоугольный треугольник. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Прямоугольный треугольник.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Треугольник ”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Треугольник.
   
2. Свойства и особенности треугольников.
   
3. Свойства и особенности прямоугольных треугольников.
   
4. Основные обозначения и формулы треугольника.
5. Примеры.
   

Треугольник.

Треугольник является одной из основных фигур геометрии: это многоугольник состоящий из трех точек, назывемых вершинaми, не лежащих на одной прямой и трех отрезков - его сторонами. Треугольник с вершинами в точках A, B и C обозначается △ABC.

В зависимости от величины углов при вершинах, треугольники могут быть классифицированны следующим образом:

• Прямоугольные треугольники - они имеют один угол в 90°. Сторона, противоположная этому углу называется гипотенузой, она является самой большой строной треугольника. Две другие стороны называются катетами. Для прямоугольных треугольников справедлива теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. a2 + b2 = c2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
• Косоугольные треугольники, это треугольники, не имеющие внутреннего угла 90°.
• Тупоугольные треугольники - один из внутренних углов больше 90° (этот угол называется тупым).
• Остроугольные треугольники - все внутренние углы которых меньше 90° (три острых угла). Примером такого треугольника является равносторонний треугольник, но не все остроугольные треугольники являются равносторонними.
  

Свойства и особенности треугольников.

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально — так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости.

Треугольник— это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляция.

Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность.

Треугольник обладает замечательным свойством — это жесткая фигура, т.е. при постоянной длине сторон нельзя изменить форму треугольника. Это свойство треугольника делает его незаменимым в технике и строительстве. Элементы конструкции в форме треугольника сохраняют свою форму, в отличие, например, от элементов в форме квадрата или параллелограмма. Кроме того, треугольник является простейшим многоугольником и любой многоугольник можно представить в виде набора треугольников.

Свойства и особенности прямоугольных треугольников.

• По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
  

Основные обозначения и формулы треугольника.

Обозначения:
A, B, C — углы треугольника,

a, b, c — противолежащие стороны,

R — радиус описанной окружности,

r — радиус вписанной окружности,

p — полупериметр, (a + b + c) / 2,

S — площадь треугольника.

Прямоугольный треугольник.

Файл:O.gif Определение. Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой.
Это значит, что прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы). Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.

Файл:T.gif Теорема. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.

Файл:03022011 1.GIF

Данная окружность является описанной для данного треугольника АВС, а угол АСВ является вписанным в эту окружность. Из темы круг и окружность знаем, что вписанный в окружность прямой угол опирается на диаметр. Поэтому гипотенуза АВ является диаметром. Центр окружности - точка О - лежит в его середине. Отрезок ОС является радиусом, т.к. соединяет центр с точкой окружности, также является медианой треугольника АВС, т.к. соединяется его вершину С с серединой противоположной стороны АВ.

Файл:T.gif Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Отметим еще два специальных вида прямоугольных треугольников: равнобедренный и пр. тр. с углами в 30° и 60°. Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет равные углы при основании (гипотенузе). Каждый из этих углов содержит 45°. Такой треугольник получается, если рассечь квадрат его диагональю. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
Прямоугольный треугольник с углами в 30° и 60° получится, если в равностороннем треугольнике провести одну из его высот и взять какой-либо из двух равных прямоугольных треугольников, на которые она разбивает данный равносторонний треугольник. Обратно, если взять прямоугольный треугольник с углами в 30° и 60°, то, приложив к нему еще один такой же треугольник, имеющий с ним общий катет, прилежащий к углу в 30°, получим равносторонний треугольник. Из такого способа получения указанного треугольника видно, что в прямоугольном треугольнике с углами в 30° и 60° катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС (см. рис. 1) и проведем высоту СН = h из вершины С его прямого угла. Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и ВСН; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС. Все три треугольника АВС, АСН и ВСН подобны между собой. Из подобия треугольников АВС и АСН имеем СН2 = АН×ВН, т.е.

Файл:T.gif Теорема. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она разбивает гипотенузу.
Далее, из подобия треугольников АВС и АСН найдем АС2 = АН×ВА. Аналогичным образом найдем ВС2 = АВ×ВН.
Файл:T.gifТеорема. Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Запишем эти теоремы в виде формул для нашего треугольника

Файл:03022011 2.GIF

Файл:T.gif Теорема. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы:
a₂+b₂=c₂
Доказательство: Запишем выражения квадратов катетов а и b треугольника:
a₂=cc₁, b₂=cc₂,
и сложим эти неравенства почленно. Получим
a₂+b₂= cc₁+cc₂= c(c₁+c₂)=c₂,
что и требовалось доказать.

Приведенное доказательство имеет алгебраический характер: вычисление показывает, что сумма квадратов длин катетов равны квадрату длины гипотенузы. Поскольку квадрат длины отрезка геометрически можно истолковать как площадь квадрата, построенного на этом отрезке, как на стороне, то теорему Пифагора можно сформулировать в чисто геометрических терминах: сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. В связи с этим на рисунке 2 дано геометрическое обоснование теоремы Пифагора. Один и тот же квадрат со стороной a+b разложен в одном случае на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а,b и квадрат со стороной с, а в другом случае – на такие же четыре равных прямоугольных треугольника и на два квадрата со сторонами а и b соответственно. Из этого непосредственно видно, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Примеры.

Задача №1.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90градусов, сторона АС равна 3 см, а сторона ВС больше стороны АС на 2 см. Найдите tg угла А

Решение.
tg A = BC /AC
BC = AC + 2
AC = 3
tg A = 5 / 3

Ответ: tg A = 5/3

Задача №2.
Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого катета и меньше гипотенузы на 1 см. Найти площадь треугольника.

Решение.
Обозначим катет одного треугольника через х, тогда второй катет будет равен х+1, а гипотенуза х+2.
Тогда по теореме Пифагора:
x² + ( x + 1 )² = ( x + 2 )²
x² + x² + 2x + 1 = x² + 4x +4
2x² + 2x +1 - x² - 4x -4 = 0
x² - 2x - 3 = 0

D = 16
x1 = 3
x2 = -1 (не подходит по условию задачи)

Площадь прямоугольного треугольника равна
S = 1/2 ab = 1/2 * 3 * 4 = 6 см² .

Площадь треугольника также можно было найти по формуле Герона.

Задача №3.
В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны корень из 52 и корень из 73. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Решение.
Каждая из медиан катетов образует с прямым углом прямоугольный треугольник. Обозначим длину половины каждого катета как a и b. Тогда, по теореме Пифагора получим:
Файл:03022011 4.GIF

Откуда
a² = 73 - 4b²

подставим выражение во второе уравнение

b² + 4( 73 - 4b² ) = 52
b² + 292 - 16b² = 52
15b² = 240
b² = 16
b = 4

Соответственно, а² = 73 - 4 * 16 = 9, а = 3

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (2a и 2b) 8 и 6 см.

Откуда площадь прямоугольного треугольника равна
S = 1/2 8*6 = 24 см² .

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см² .

Интересный факт:

Пи-число — число, равное отношению длины окружности к ее диаметру. Пи-число представляется бесконечной десятичной дробью 3,14159265... Обозначением этого числа греческой буквой π впервые пользовался английский математик У. Джонсон (1706), и оно стало общепринятым после одной из работ петербургского математика Л. Эйлера (1736).

В конце XVIII в. немецким математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром было доказано, что пи-число является иррациональным, а в 1882 г. немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что оно не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, т. е. является трансцендентным.

Из теоремы Линдемана следует невозможность построения с помощью циркуля и линейки отрезка прямой длиной, равной π; эта теорема окончательно устанавливает невозможность решения задачи о квадратуре круга.

Уже в глубокой древности делались попытки найти приближенное выражение для числа π с помощью рациональных чисел. В древнем Египте при вычислении площади круга для пи-числа использовали значение

Древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.), рассматривая окружность как предел последовательностей правильных описанных и вписанных многоугольников, когда число их вершин бесконечно растет, нашел, что пи-число заключено между

и

Приближение

найдено было сначала китайским математиком Цзу Чуи-чжи во второй половине V в., а затем, значительно позднее, в Европе (в XVI в.); это приближение содержит ошибку лишь в седьмом знаке.

Вопросы:

1. Что такое теорема?
   
2. Основные обозначения треугольника?
   
3. Признаки равенства треугольника?
   
4. Свойства и особености треугольников?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев.
2. Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений Автор: Дудницын Юрий Павлович.
3. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005).
4. Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л.Г.
   
5. Толковый словарь математических терминов. О.В. Мантуров. г. Москва.
   

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.