*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
-
<br>Задачи урока
+
<br>Задачи урока
-
*Формировать навыки в построении медианы, биссектрисы и высоты треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
+
*Формировать навыки в построении медианы, биссектрисы и высоты треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
*проверить умение учащихся решать задачи на доказательство равенства треугольников.
*проверить умение учащихся решать задачи на доказательство равенства треугольников.
-
+
<br>
План урока:
План урока:
-
#Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.<br>
+
#Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.<br>
-
#Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.<br>
+
#Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.<br>
-
#Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.<br>
+
#Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.<br>
#Задание для самостоятельной проверки.<br>
#Задание для самостоятельной проверки.<br>
-
<u>'''Обозначения:'''</u><br>А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах;<br>а, b, с — стороны, противолежащие углам<br>А, В, С соответственно<br>ha , hb , hc — высоты, опущенные на стороны<br>а, b, с соответственно;<br>ma , mb , mc — медианы;<br>la , lb , lc — биссектрисы;<br>R — радиус описанной окружности;<br>r — радиус вписанной окружности.<br>
+
<u>'''Обозначения:'''</u><br>А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах;<br>а, b, с — стороны, противолежащие углам<br>А, В, С соответственно<br>ha , hb , hc — высоты, опущенные на стороны<br>а, b, с соответственно;<br>ma , mb , mc — медианы;<br>la , lb , lc — биссектрисы;<br>R — радиус описанной окружности;<br>r — радиус вписанной окружности.<br>
-
[[Image:13112010_0.gif]]<br>
+
[[Image:13112010 0.gif]]<br>
-
<br>
+
<br>
-
<u>'''Высота, биссектриса и медиана треугольника'''</u>
+
<u>'''Высота, биссектриса и медиана треугольника'''</u>
-
'''[[Image:O.gif]] Биссектриса''' любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:<br>
+
'''[[Image:O.gif]] Биссектриса''' любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:<br>
'''[[Image:O.gif]] Высотой треугольника''' называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение.<br>Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром.<br>В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.<br>В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.<br>
+
'''[[Image:O.gif]] Высотой треугольника''' называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение.<br>Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром.<br>В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.<br>В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.<br>
'''[[Image:O.gif]] Медианой треугольника''' называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.<br>Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника.<br>Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины). <br>
-
'''[[Image:O.gif]] Медианой треугольника''' называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.<br>Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника.<br>Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины). <br>
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.<br>RX – медиана угла SRT. SX = XT.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.<br>RX – медиана угла SRT. SX = XT.
-
<br>
+
<br>
'''[[Image:O.gif]] Биссектрисой треугольника''' называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.
'''[[Image:O.gif]] Биссектрисой треугольника''' называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.
Строка 71:
Строка 71:
'''[[Image:O.gif]] Биссектрисы треугольника''' пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.
'''[[Image:O.gif]] Биссектрисы треугольника''' пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.<br>EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.<br>EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.
-
<br>
+
<br>
-
'''''Медиана, биссектриса, высота'''''<br>
+
'''''Медиана, биссектриса, высота'''''<br>
-
[[Image:13112010_6.gif]]<br>
+
[[Image:13112010 6.gif]]<br>
-
'''''Высоты и стороны треугольника'''''<br>
+
'''''Высоты и стороны треугольника'''''<br>
-
[[Image:13112010_7.gif]]<br>
+
[[Image:13112010 7.gif]]<br>
+
<br>
+
<u>'''Пошаговое построение'''</u><br>
-
<u>'''Пошаговое построение'''</u><br>
+
'''Медиана треугольника''' - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:<br>''1) найти середину стороны;''<br>''2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком - это и будет медиана. ''<br>
-
'''Медиана треугольника''' - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:<br>''1) найти середину стороны;''<br>''2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком - это и будет медиана. ''<br>
+
'''Биссектриса треугольника''' - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:<br>''1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);''<br>''2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;''<br>''3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком - это и будет биссектриса.''
-
'''Биссектриса треугольника''' - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:<br>''1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);''<br>''2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;''<br>''3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком - это и будет биссектриса.''
+
'''Высота треугольника''' - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:<br>''1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);''<br>''2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр - это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) - это и будет высота. <br>''
-
'''Высота треугольника''' - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:<br>''1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);''<br>''2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр - это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) - это и будет высота. <br>''
+
<u>'''Задание для самостоятельной проверки.'''</u>
-
<u>'''Задание для самостоятельной проверки.'''</u>
+
1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника.<br>2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника.<br>3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника.<br>4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника.<br>5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника.<br>6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.
-
1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника.<br>2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника.<br>3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника.<br>4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника.<br>5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника.<br>6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.
+
как построить медиану с помощью циркуля.
-
как построить медиану с помощью циркуля.
+
{{#ev:youtube|6e_7eZYFxrw}}
-
+
-
{{#ev:youtube|6e_7eZYFxrw}}
+
{{#ev:youtube|ljZewq5xU0g }}
{{#ev:youtube|ljZewq5xU0g }}
Строка 107:
Строка 107:
----
----
-
<u>'''Интересный факт:'''</u>
+
<u>'''Интересный факт:'''</u>
-
В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, изложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изучение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чисел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха является раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, указание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.<br>Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Александрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Менелая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь прямая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произведение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».<br>
+
В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, изложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изучение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чисел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха является раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, указание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.<br>Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Александрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Менелая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь прямая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произведение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».<br>
----
----
Строка 116:
Строка 116:
#Что такое биссектриса?<br>
#Что такое биссектриса?<br>
-
#Что такое медиана?
+
#Что такое медиана?
-
#Что такое высота?<br>
+
#Что такое высота?<br>
#Соотношение высот и сторон треугольника?<br>
#Соотношение высот и сторон треугольника?<br>
Строка 123:
Строка 123:
#Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
#Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
-
#Журнал "Прикладная геометрия".
+
#Журнал "Прикладная геометрия".
-
#
+
#"Открытый урок" Издательский дом «Первое сентября» 2003-2010 г.
----
----
Строка 134:
Строка 134:
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
Формировать навыки в построении медианы, биссектрисы и высоты треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
проверить умение учащихся решать задачи на доказательство равенства треугольников.
План урока:
Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.
Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.
Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.
Задание для самостоятельной проверки.
Обозначения: А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах; а, b, с — стороны, противолежащие углам А, В, С соответственно ha , hb , hc — высоты, опущенные на стороны а, b, с соответственно; ma , mb , mc — медианы; la , lb , lc — биссектрисы; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности.
Файл:O.gif Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение. Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.
Файл:O.gif Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника. Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины).
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника. RX – медиана угла SRT. SX = XT.
Файл:O.gif Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.
Файл:O.gif Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.
Файл:O.gif Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия: 1) найти середину стороны; 2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком - это и будет медиана.
Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия: 1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части); 2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной; 3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком - это и будет биссектриса.
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия: 1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике); 2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр - это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) - это и будет высота.
Задание для самостоятельной проверки.
1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника. 2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника. 3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника. 4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника. 5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника. 6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.
как построить медиану с помощью циркуля.
Интересный факт:
В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, изложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изучение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чисел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха является раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, указание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д. Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Александрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Менелая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь прямая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произведение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».
Вопросы:
Что такое биссектриса?
Что такое медиана?
Что такое высота?
Соотношение высот и сторон треугольника?
Список использованных источников:
Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
Журнал "Прикладная геометрия".
"Открытый урок" Издательский дом «Первое сентября» 2003-2010 г.
Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
