Уравнение окружности. Полные уроки - История изменений

User16 в 12:00, 30 июля 2015

2015-07-30T12:00:51Z

← Предыдущая		Версия 12:00, 30 июля 2015
Строка 109:		Строка 109:

	<br>{{#ev:youtube\|8MaaXFAob44}}<br>		<br>{{#ev:youtube\|8MaaXFAob44}}<br>
		+

	<h2>Прямоугольная система координат</h2>		<h2>Прямоугольная система координат</h2>
Строка 135:		Строка 136:

	<br>{{#ev:youtube\|wjdLFDt1qKQ}}<br>		<br>{{#ev:youtube\|wjdLFDt1qKQ}}<br>
		+

	<h2>Интересный факт</h2>		<h2>Интересный факт</h2>
Строка 146:		Строка 148:
	Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:		Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:

-	<br>[[Image:8kl_YrOkr01.jpg\|~~500x500px~~\|уравнен.окружности]]<br>	+	<br>[[Image:8kl_YrOkr01.jpg\|600x600px\|уравнен.окружности]]<br>

	В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».		В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».

User16 в 11:59, 30 июля 2015

2015-07-30T11:59:27Z

← Предыдущая		Версия 11:59, 30 июля 2015
Строка 146:		Строка 146:
	Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:		Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:

-	<br>[[Image:~~8kl_Pifagor01~~.jpg\|500x500px\|уравнен.окружности]]<br>	+	<br>[[Image:8kl_YrOkr01.jpg\|500x500px\|уравнен.окружности]]<br>

	В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».		В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».

User16 в 11:57, 30 июля 2015

2015-07-30T11:57:36Z

Внесённые изменения

User16 в 14:23, 8 февраля 2013

2013-02-08T14:23:20Z

← Предыдущая		Версия 14:23, 8 февраля 2013
Строка 47:		Строка 47:
	Только в Древней Греции '''окружность '''и '''круг '''получили свои названия.		Только в Древней Греции '''окружность '''и '''круг '''получили свои названия.

-	Самая простая из всех кривых линий - '''окружность'''. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно '''Аристотелю''', небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением '''Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона'''.	+	Самая простая из всех кривых линий - '''окружность'''. Это одна из древнейших геометрических фигур. [http://xvatit.com/busines/jobs-career/ Философы] древности придавали ей большое значение. Согласно '''Аристотелю''', небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением '''Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона'''.

User16 в 14:22, 8 февраля 2013

2013-02-08T14:22:30Z

← Предыдущая		Версия 14:22, 8 февраля 2013
Строка 34:		Строка 34:
	*'''какие геометрические примитивы существуют'''		*'''какие геометрические примитивы существуют'''
	*'''как окружность взаимосвязана с другими примитивами'''		*'''как окружность взаимосвязана с другими примитивами'''
-	*'''что такое прямоугольная система координат'''	+	*'''что такое [[Определение декартовых координат. Полные уроки\|прямоугольная система координат]]'''
	*'''что такое окружность и круг на первый взгляд'''		*'''что такое окружность и круг на первый взгляд'''

Строка 93:		Строка 93:
	'''Прямая '''— одно из основных понятий геометрии.<br>Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.		'''Прямая '''— одно из основных понятий геометрии.<br>Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.

-	'''Треугольник '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.	+	'''[[Презентація до теми Подібні трикутники Ознаки подібності трикутників\|Треугольник]] '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

-	'''Прямоугольник '''— это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).	+	'''[[Прямоугольник\|Прямоугольник]] '''— это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).


Строка 109:		Строка 109:
	==== Связь окружности с другими фигурами ====		==== Связь окружности с другими фигурами ====

-	'''Описанная окружность многоугольника''' — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.	+	'''[[Вписані та описані чотирикутники. Вписані та центральні кути\|Описанная окружность многоугольника]]''' — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.


Строка 115:		Строка 115:


-	'''Окружность называется вписанной''' в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.<br>	+	'''Окружность называется вписанной''' в выпуклый [[Презентація до теми Многокутник та його елементи. Опуклі та неопуклі многокутники\|многоугольник]], если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.<br>


Строка 129:		Строка 129:
	==== Прямоугольная система координат ====		==== Прямоугольная система координат ====

-	И так эта система координат имеет '''два своих вполне оправданных названия'''. '''Первым из них является''' декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. '''И второе не менее интересное''' и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен '''90°''' такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.	+	И так эта система координат имеет '''два своих вполне оправданных названия'''. '''Первым из них является''' [[Определение декартовых координат\|декартова]], такое название она получила от фамилии своего автора. '''И второе не менее интересное''' и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен '''90°''' такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.


Строка 158:		Строка 158:
	=== Уравнение окружности ===		=== Уравнение окружности ===

-	Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы '''Пифагора'''. <br>	+	Есть много способов для предоставления [[Уравнение окружности\|уравнения окружности]], но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы '''Пифагора'''. <br>

-	'''Теорема Пифагора:'''<br>	+	'''[[Практикум до уроку «Теорема Піфагора»\|Теорема Пифагора]]:'''<br>

	'''Геометрическая формулировка:'''		'''Геометрическая формулировка:'''

User16 в 14:40, 6 февраля 2013

2013-02-06T14:40:19Z

← Предыдущая		Версия 14:40, 6 февраля 2013
Строка 181:		Строка 181:
	<br>Если центр окружности находится в начале координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение окружности принимает вид: <br>		<br>Если центр окружности находится в начале координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение окружности принимает вид: <br>

-	[[Image:13062011 10.jpg\|~~300px~~\|Уравнение окружности]]<br>	+	[[Image:13062011 10.jpg\|200px\|Уравнение окружности]]<br>

	Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.		Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.

User16 в 14:39, 6 февраля 2013

2013-02-06T14:39:29Z

Внесённые изменения

User8 в 16:53, 13 июня 2011

2011-06-13T16:53:35Z

← Предыдущая		Версия 16:53, 13 июня 2011
Строка 245:		Строка 245:
	#Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004<br>		#Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004<br>
	#Льюис Кэррол, «История с узелками»<br>		#Льюис Кэррол, «История с узелками»<br>
-
-	~~<br>~~

	----		----

User8: Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

2011-06-13T16:52:46Z

Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс. Полные уроки|Математика 8 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Уравнение окружности. Полные уроки'''

----

ТЕМА УРОКА: '''Уравнение окружности.''' 

=== Цели урока: ===

*Попытаться разобраться как видели геометрию основоположники.
*Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные. 
*Сформулировать свойства окружности. 
*Научиться применять свойства фигур при решении задач.
*Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

=== Задачи урока: ===

*Проверить умение учащихся решать задачи.

 

=== План урока: ===

#Вступительное слово. 
#Повторение ранее изученного материала.
#Уравнение окружности. 

 

=== Вступительное слово. ===

''По традиции начнем с повторения ранее изученного материала. Для того что бы полностью разобраться с уравнением окружности нам нужно вспомнить:'' 

*'''какие геометрические примитивы существуют '''
*'''как окружность взаимосвязана с другими примитивами'''
*'''что такое прямоугольная система координат '''
*'''что такое окружность и круг на первый взгляд''' 

 

Вы уверены что знаете, что такое окружность? ''Окружность- это не только замкнутая линия, но и совершенная линия, так считал '''''Аристотель'''. А как считают сейчас? Где вы видите окружность? А она... Эллипс - окружность? 

 

==== Немного истории. ====

Только в Древней Греции '''окружность '''и '''круг '''получили свои названия.

Самая простая из всех кривых линий - ''окружность''. ''Это одна из древнейших геометрических фигур''. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно '''Аристотелю''', небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением '''Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона'''.

 

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="0" width="200"
|-
| [[Image:13062011 0.jpg]] 
|-
| '''Аристотель''', также известный как Стагирит по месту рождения (384, Стагир — 322 до н.э., Халкида на Эвбее) — древнегреческий философ и учёный. 
|}

 

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="0" width="200"
|-
| [[Image:13062011 1.jpg]] 
| [[Image:13062011 2.jpg]] 
|-
| '''Николай Коперник''' (1473-1543) — польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира. 
| '''Галилео Галилей''' (итал. Galileo Galilei; 1564-1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. 
|}

 

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="0" width="200"
|-
| [[Image:13062011 3.jpg]] 
| [[Image:13062011 4.jpg]] 
|-
| '''Иоганн Кеплер''' (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — немецкий математик, астроном, оптик и астролог. Открыл законы движения планет. 
| Сэр '''Исаак Ньютон''' (англ. Sir Isaac Newton, 1642-1727) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. 
|}

 

=== Повторение ранее изученного материала. ===

Круглые тела в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде '''колес''', которые катились уже легче.

==== ''' '''Геометрические примитивы. ====

'''Фигура '''– это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур. 

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений. 

Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. 

Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….

'''Точка '''— это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить. Также в геометрии нет определения "прямой" (имеется в виду прямая линия).

'''Прямая '''— одно из основных понятий геометрии. Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.

 

'''[[Image:O.gif]] Треугольник '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

[[Image:19102010 8.gif|247x247px|19102010 8.gif]] 

 

'''[[Image:O.gif]] Прямоугольник '''— это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

[[Image:19102010 3.png]] 

 

'''[[Image:O.gif]] Окружность '''— геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. 

[[Image:19102010 7.png]] 

 

==== Связь окружности с другими фигурами. ====

''[[Image:O.gif]] Описанная окружность многоугольника'' — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

[[Image:08022011 1.png]] 

 

''[[Image:O.gif]] Окружность называется вписанной'' в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны. 

[[Image:14022011 0.png]] 

{{#ev:youtube|NrBvPq5lW9Q}} {{#ev:youtube|8MaaXFAob44}}

 

==== Прямоугольная система координат. ====

''И так эта система координат имеет '''два своих вполне оправданных названия'''. '''Первым из них является''' декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. '''И второе не менее интересное''' и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен '''90°''' такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.''

[[Image:29052011 5.jpg|242x243px|29052011 5.jpg]]

 

==== Окружность и круг. ====

'''[[Image:O.gif]] Окружность '''- это замкнутая прямая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от одной внутренней точки, которая называется центром.

[[Image:O.gif]] А '''круг '''- это часть плоскости, ограниченная окружностью. 

[[Image:13062011 5.gif]]

'''[[Image:O.gif]] Диаметр '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр этой окружности, это максимальное расстояние между точками одной фигуры. А вот половинка диаметра называется радиусом.

''[[Image:O.gif]] '''''Радиус '''соединяет центр окружности с любой точкой окружности. Есть еще такое необычное слово - хорда.

''[[Image:O.gif]] '''''Хорда '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности, но, в отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности - ей больше нравится находиться около окружности. 

'''[[Image:O.gif]] '''Круговым '''сектором '''или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Для построения окружности необходим новый чертежный инструмент – '''циркуль'''.

{{#ev:youtube|wjdLFDt1qKQ}}

 

=== Уравнение окружности. ===

''Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы '''Пифагора'''. '' 

[[Image:T.gif]] '''теорема Пифагора:''' 

'''''Геометрическая формулировка:'''''

*В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 

'''''Алгебраическая формулировка:'''''

*В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

[[Image:13062011 6.png]] 

Пусть есть окружность с центром в точке A (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку В (x; y) на окружности. Тогда, как видно из рисунка можно применить теорему Пифагора. 

[[Image:13062011 8.jpg]]

Получаем прямоугольный треугольник с сторонами АВ, ВС и СА. 

По теореме Пифагора 

[[Image:13062011 9.gif]]

Если применить это к нашей окружности получим следующие уравнение

[[Image:13062011 7.gif]] 

- это уравнение окружности. 

Если центр окружности находится в начале координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение окружности принимает вид: 

[[Image:13062011 10.jpg]] 

Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.

{{#ev:youtube|0SP8fDTQXY4}} 

----

=== Интересный факт: ===

'''Окружность девяти точек.''' 

[[Image:13062011 11.png]] 

В геометрии треугольника ''окружность девяти точек'' — это окружность, проходящая '''через середины всех трёх сторон треугольника'''. Она также называется окружностью '''Эйлера''', окружностью '''Фейербаха''', окружностью шести точек. 

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

[[Image:T.gif]] Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

''Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:''

*Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
*Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.
*(теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее. 





----

'''Вопросы:'''

#Что такое геометрические примитивы? 
#В чем разница между кругом и окружностью?
#С помощью какой теоремы можно представить уравнение окружности? 

'''Список использованных источников:'''

#Бубенцова Марина Николаевна, учитель математики МОУ СОШ с. Ульяновка, Тамалинского района 
#Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004 
#Льюис Кэррол, «История с узелками» 

 

----

'''Над уроком работали:'''

Потурнак С.А. 

Бубенцова Марина Николаевна

----

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ. 

[[Category:Математика_8_класс]]