Равнобедренный треугольник. Полные уроки - История изменений

User16 в 09:57, 27 мая 2015

2015-05-27T09:57:16Z

← Предыдущая		Версия 09:57, 27 мая 2015
Строка 112:		Строка 112:

	{{#ev:youtube\|jbvSZBYF8Ro}}		{{#ev:youtube\|jbvSZBYF8Ro}}
		+

	<h2>Интересные факты</h2>		<h2>Интересные факты</h2>

User16 в 09:54, 27 мая 2015

2015-05-27T09:54:12Z

← Предыдущая		Версия 09:54, 27 мая 2015
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки\|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Равнобедренный треугольник. Полные уроки'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки\|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Равнобедренный треугольник. Полные уроки'''
-
-	<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 7 класс, Равнобедренный треугольник</metakeywords>ТЕМА УРОКА: <u>'''Равнобедренный треугольник.'''</u>

	<h2>Тема урока</h2>		<h2>Тема урока</h2>
Строка 48:		Строка 46:
	• Тупоугольный имеет тупой угол при вершине, а при его основании углы острые.<br>		• Тупоугольный имеет тупой угол при вершине, а при его основании углы острые.<br>
	• У равностороннего все его углы и стороны равны.<br>		• У равностороннего все его углы и стороны равны.<br>
-

	<h2>Свойства равнобедренного треугольника</h2>		<h2>Свойства равнобедренного треугольника</h2>
Строка 113:		Строка 110:

	8. Подумайте и ответьте, какие углы должны быть у треугольника, чтобы он одновременно был и прямоугольным, и равнобедренным?<br>		8. Подумайте и ответьте, какие углы должны быть у треугольника, чтобы он одновременно был и прямоугольным, и равнобедренным?<br>
-
-	~~{{#ev:youtube\|ljZewq5xU0g}}~~

	{{#ev:youtube\|jbvSZBYF8Ro}}		{{#ev:youtube\|jbvSZBYF8Ro}}
Строка 125:		Строка 120:

	<br>		<br>
-	[[Image:~~7kl_Ravnobed03~~.jpg\|500x500px\|равнобедр]]	+	[[Image:7kl_Ravnobed04.jpg\|500x500px\|равнобедр]]
	<br>		<br>

User16 в 09:42, 27 мая 2015

2015-05-27T09:42:16Z

Внесённые изменения

User11 в 14:25, 30 марта 2011

2011-03-30T14:25:12Z

← Предыдущая		Версия 14:25, 30 марта 2011
Строка 83:		Строка 83:
	<br> Левченко В.С.		<br> Левченко В.С.

-	~~Постурнак~~ С.А.	+	Потурнак С.А.

	----		----

User11 в 09:55, 9 марта 2011

2011-03-09T09:55:37Z

← Предыдущая		Версия 09:55, 9 марта 2011
Строка 79:		Строка 79:
	----		----

-	~~Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.~~	+	<u>'''<br> Над уроком работали:'''</u>

-	~~Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit~~.~~com/index.php?do=feedback напишите нам]~~.	+	<br> Левченко В.С.

-	~~Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit~~.~~com/forum/ Образовательный форум]~~.	+	Постурнак С.А.

-	~~<br>~~	+	----
		+
		+	Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

	<br>		<br>

	[[Category:Математика_7_класс]]		[[Category:Математика_7_класс]]

User8 в 11:38, 12 декабря 2010

2010-12-12T11:38:46Z

← Предыдущая		Версия 11:38, 12 декабря 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки\|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Равнобедренный треугольник. Полные уроки'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки\|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Равнобедренный треугольник. Полные уроки'''

-	ТЕМА УРОКА: <u>'''Равнобедренный треугольник.'''</u>	+	<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 7 класс, Равнобедренный треугольник</metakeywords>ТЕМА УРОКА: <u>'''Равнобедренный треугольник.'''</u>

	План урока: <br>		План урока: <br>
Строка 46:		Строка 46:
	<br>		<br>

-	'''Задача №2.'''<br>Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании.<br>'''Решение.'''<br>Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х.<br>Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то<br>2x + x + x = 180<br>4x = 180<br>x = 45<br>Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания  равен 2 * 45 = 90 градусам.<br>'''Ответ:''' 45, 45, 90 градусов <br>	+	'''Задача №2.'''<br>Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании.<br>'''Решение.'''<br>Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х.<br>Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то<br>2x + x + x = 180<br>4x = 180<br>x = 45<br>Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания  равен 2 * 45 = 90 градусам.<br>'''Ответ:''' 45, 45, 90 градусов <br> <br>
-	<br>	+

	'''Задача №3.'''<br>Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см, а основание равно 10см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.<br>'''Решение.'''<br>''1-й способ.'' Применим формулу Герона.		'''Задача №3.'''<br>Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см, а основание равно 10см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.<br>'''Решение.'''<br>''1-й способ.'' Применим формулу Герона.
Строка 65:		Строка 64:
	<br>		<br>

-	'''<u>Вопросы:</u>'''<br>	+	'''<u>Вопросы:</u>'''<br>

-	#Что такое треугольник?<br>	+	#Что такое треугольник?<br>
-	#Особенности равнобедренного треугольника?<br>	+	#Особенности равнобедренного треугольника?<br>
	#Признаки равенства треугольника?<br>		#Признаки равенства треугольника?<br>

-	<u>'''Список использованных источников:'''</u>	+	<u>'''Список использованных источников:'''</u>

-	#Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.	+	#Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
-	#Журнал "Прикладная геометрия".<br>	+	#Журнал "Прикладная геометрия".<br>
-	#Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. – 2-е изд., стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.<br>	+	#Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. – 2-е изд., стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.<br>
	#Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике /М. Я. Выгодский. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2002.		#Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике /М. Я. Выгодский. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2002.

Строка 88:		Строка 87:
	<br>		<br>

-	~~[[Category:Математика_7_класс]]~~	+	<br>

-	~~<br>~~	+	[[Category:Математика_7_класс]]

User8 в 11:33, 12 декабря 2010

2010-12-12T11:33:56Z

Внесённые изменения

User8: Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

2010-12-12T11:15:31Z

Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Равнобедренный треугольник. Полные уроки'''

ТЕМА УРОКА: '''Равнобедренный треугольник.'''

План урока: 

#Общие понятия и определения. 
Свойства равнобедренного треугольника. 
#Признаки равнобедренного треугольника. 
#Примеры решения задач. 

 

[[Image:O.gif]] Как раньше мы уже вспоминали ''треугольник ''это простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. 

[[Image:O.gif]] ''Треугольник называется равнобедренным'', если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием. 

''Основная высота'' - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине. ''Полуподобные равнобедренные треугольники'' - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого. ''Половинноподобные равнобедренные треугольники'' - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого. 

'''Свойства равнобедренного треугольника.''' 

'''[[Image:]] ''''''Теорема 4.3. ''' 

''Доказательство:'' Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана. '''[[Image:]] ''''''Теорема 4.4.''' Свойство медианы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. [[Image:12112010.png]] Рисунок 1. ''Доказательство:'' Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана. 

'''Признаки равнобедренного треугольника.''' [[Image:T.gif]] '''Теорема 4.5.''' 

''Доказательство:'' Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана. [[Image:]] '''Теорема 4.6.''' 

''Доказательство:'' В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана. 

[[Image:]] '''Теорема 4.7.''' ''Третий признак равенства треугольников.'' Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. [[Image:12112010_4.jpg]] Рисунок 2. К теореме 4.7 ''Доказательство:'' Пусть Δ ABC и Δ A1B1C1 таковы, что AB = A1B1; BC = B1C1 ; AC = A1C1. 

''Доказательство от противного.'' Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что [[Image:12112010_1.gif]] одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку. Пусть Δ A1B1C2 – треугольник, равный Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Треугольники A1C1C2 и B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. 

[[Image:12112010_2.jpg]] 

[[Image:12112010_3.jpg]] 

 

'''Примеры решения задач.''' 

'''Задача №1.''' Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. '''Решение.''' Для решения задачи воспользуемся следующими формулами: [[Image:12112010_5.gif]] где: R - радиус описанной окружности r - радиус вписанной окружности p - полупериметр треугольника S - площадь треугольника, при чем формула нахождения площади треугольника приведена для равнобедренного треугольника и является следствием формулы Герона для случая, когда a  - длины одинаковых сторон, а b - длина третьей стороны. Сначала найдем длину одинаковых сторон равнобедренного треугольника. Поскольку высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является одновременно и медианой, то, применив теорему Пифагора, получим: a = √ (92 + 122 ) =  √225 = 15 Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника S = 1/2 * 24 √ (  ( 15 + 1/2 * 24 ) ( 15  - 1/2 * 24 ) ) = 12 √ ( 27 * 3 ) = 12 √ 81 = 108 см2 Откуда радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника R = 15 * 15 * 24 / ( 4 * 108 ) = 12.5 см. Радиус вписанной окружности p = ( 15 + 15 + 24 ) / 2 = 27 r = 108 / 27 = 4 '''Ответ:''' 4 и 12,5 см. 

 

'''Задача №2.''' Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании. '''Решение.''' Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х. Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то 2x + x + x = 180 4x = 180 x = 45 Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания  равен 2 * 45 = 90 градусам. '''Ответ:''' 45, 45, 90 градусов 

'''Задача №3.''' Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см, а основание равно 10см. Найдите площадь равнобедренного треугольника. '''Решение.''' ''1-й способ.'' Применим формулу Герона.

Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет вид: [[Image:12112010_6.gif]] где а - длина боковых сторон, а b - длина основания. Имеем: S = 1/2 * 10 * √ (13 + 5 )( 13 - 5 ) = 5 √ 18 * 8 = 60 см2 ''2-й способ.'' Применим теорему Пифагора Поскольку высота треугольника делит основание пополам, то длина половины основания будет равна 10 / 2 = 5 см . Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник. Соответственно, высота основания будет равна: h = √ 132 - 52 = √144 = 12 см Площадь равнобедренного треугольника будет равна площади двух прямоугольных треугольников, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим: S = 5 * 12 / 2 = 30 см2 Поскольку прямоугольных треугольников два, то общая площадь равнобедренного треугольника составит: 30 * 2 = 60 см2 . '''Ответ:''' Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см2 . 

{{#ev:youtube|ljZewq5xU0g}} {{#ev:youtube|jbvSZBYF8Ro}}

----

'''Интересный факт:'''

В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской школы». Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. 

----

 

Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

[[Category:Математика_7_класс]]