Параллелограмм. Полные уроки - История изменений

Marisha в 11:12, 10 июня 2015

2015-06-10T11:12:14Z

User16 в 09:29, 10 июня 2015

2015-06-10T09:29:58Z

← Предыдущая		Версия 09:29, 10 июня 2015
Строка 142:		Строка 142:
	А замечали ли вы, что если из двух прилегающих к одной стороне параллелограмма углов провести биссектрисы, то они будут перпендикулярными.		А замечали ли вы, что если из двух прилегающих к одной стороне параллелограмма углов провести биссектрисы, то они будут перпендикулярными.

-	~~<h2>~~Интересные факты	+	'''Интересные факты'''

	Известно ли вам, что благодаря инфракрасному космическому телескопу был сделан снимок галактики, по которому удалось определить структуру пылевого облака, форму параллелограмма.		Известно ли вам, что благодаря инфракрасному космическому телескопу был сделан снимок галактики, по которому удалось определить структуру пылевого облака, форму параллелограмма.

User16 в 09:26, 10 июня 2015

2015-06-10T09:26:27Z

Внесённые изменения

User16 в 07:47, 7 февраля 2013

2013-02-07T07:47:01Z

← Предыдущая		Версия 07:47, 7 февраля 2013
Строка 27:		Строка 27:
	=== Введение ===		=== Введение ===

-	Для начала я решил узнать, откуда  появилось определение параллелограмма. Оказывается термин ~~«параллелограмм»~~ греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу '''Проклу''', был введен '''Евклидом'''. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.<br>	+	Для начала я решил узнать, откуда  появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «[[Параллелограмм\|параллелограмм]]» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу '''Проклу''', был введен '''Евклидом'''. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.<br>

	В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: '''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам'''. Евклид не упоминает о том, что '''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам'''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.		В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: '''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам'''. Евклид не упоминает о том, что '''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам'''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.
Строка 40:		Строка 40:
	'''Известны некоторые виды параллелограмма: '''<br>		'''Известны некоторые виды параллелограмма: '''<br>

-	#''Прямоугольник.''	+	#[[Прямоугольник\|Прямоугольник]].
-	#''Ромб.''	+	#[[Ромб\|Ромб]].
-	#''Квадрат.''	+	#[[Квадрат\|Квадрат]].

	<br>'''Прямоугольник '''- параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: '''Диагонали прямоугольника равны'''.<br>		<br>'''Прямоугольник '''- параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: '''Диагонали прямоугольника равны'''.<br>
Строка 50:		Строка 50:
	''Прямоугольник''		''Прямоугольник''

-	<br>'''Ромб '''- параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: '''Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам'''.<br>	+	<br>'''Ромб '''- [[Паралелограм. Ознаки паралелограма. Властивості паралелограма\|параллелограмм]], все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: '''Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам'''.<br>

	[[Image:28032011 1.jpg\|200px\|Ромб]]		[[Image:28032011 1.jpg\|200px\|Ромб]]
Строка 56:		Строка 56:
	''Ромб''<br>		''Ромб''<br>

-	Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. <br><br>'''Квадрат '''- равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.<br>	+	Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. <br><br>'''Квадрат '''- равносторонний [[Гумор до уроку: Розв'язування задач i вправ. Самостійна робота №2\|прямоугольник]] (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.<br>

	[[Image:28032011 2.jpg\|200px\|Квадрат]]		[[Image:28032011 2.jpg\|200px\|Квадрат]]
Строка 92:		Строка 92:
	*'''Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.'''<br>Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.<br>		*'''Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.'''<br>Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.<br>

-	*'''Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.'''<br>''Доказательство''. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.	+	*'''Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.'''<br>''Доказательство''. Рассмотрим [[Презентація до теми Подібні трикутники Ознаки подібності трикутників\|треугольники]] ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

	<br>		<br>
Строка 117:		Строка 117:
	*'''Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360<sup>о</sup>, то ∠А+∠В=180<sup>о</sup> и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.<br>		*'''Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360<sup>о</sup>, то ∠А+∠В=180<sup>о</sup> и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.<br>

-	*'''Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.'''<br>Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.<br>	+	*'''Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.'''<br>Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. [[Определение четырехугольника. Полные уроки\|Четырехугольник]] оказывается параллелограммом по определению.<br>

	*'''Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.		*'''Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Строка 138:		Строка 138:
	'''Решение.'''		'''Решение.'''

-	Площадь параллелограмма равна ''произведению стороны на высоту'', опущенную на эту сторону.  Обозначим стороны параллелограмма как a и b.<br>Следовательно площадь и периметр будут равны:<br><br>S = 4a<br>S = 5b	+	Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону.  Обозначим стороны параллелограмма как a и b.<br>Следовательно площадь и периметр будут равны:<br><br>S = 4a<br>S = 5b

-	(должен уточнить что в обеех случаях площадь параллелограмма будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)	+	(должен уточнить что в обеех случаях [[Площа прямокутника, паралелограма, трикутника \|площадь параллелограмма]] будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)

	P = 2a + 2b<br><br>Откуда 4a = 5b<br>a = 5/4b<br><br>Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то<br>2( 5/4b ) + 2b = 42<br>b = 9,333<br><br>Откуда a = 11,666<br><br>Теперь находим площадь параллелограмма:<br>S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см<sup>2</sup> .<br><br>'''Ответ: 46,66 см<sup>2</sup> .'''<br><br>		P = 2a + 2b<br><br>Откуда 4a = 5b<br>a = 5/4b<br><br>Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то<br>2( 5/4b ) + 2b = 42<br>b = 9,333<br><br>Откуда a = 11,666<br><br>Теперь находим площадь параллелограмма:<br>S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см<sup>2</sup> .<br><br>'''Ответ: 46,66 см<sup>2</sup> .'''<br><br>
Строка 156:		Строка 156:
	=== Дополнительный материал ===		=== Дополнительный материал ===

-	Зачастую учебники републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.<br>	+	Зачастую [http://xvatit.com/vuzi/ учебники] републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.<br>

	'''В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:'''		'''В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:'''

User16 в 09:04, 27 декабря 2012

2012-12-27T09:04:20Z

← Предыдущая		Версия 09:04, 27 декабря 2012
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс. Полные уроки\|Математика 8 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Параллелограмм. Полные уроки'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс. Полные уроки\|Математика 8 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Параллелограмм. Полные уроки'''

-	~~----~~

	<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 8 класс, Параллелограмм</metakeywords>		<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 8 класс, Параллелограмм</metakeywords>
Строка 32:		Строка 31:
	В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: '''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам'''. Евклид не упоминает о том, что '''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам'''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.		В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: '''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам'''. Евклид не упоминает о том, что '''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам'''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

-	'''Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке.''' Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на ''теореме Евклида о свойствах  параллелограмма''.	+	'''Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке.''' Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на '''теореме Евклида о свойствах  параллелограмма'''.

	Само же понятие параллелограмм от греч. '''Parallelos — параллельный''' и '''gramme — линия'''. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «'''параллельные линии'''».		Само же понятие параллелограмм от греч. '''Parallelos — параллельный''' и '''gramme — линия'''. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «'''параллельные линии'''».
Строка 166:		Строка 165:
	[[Image:28032011 18.jpg\|200px\|Параллелограмм]]		[[Image:28032011 18.jpg\|200px\|Параллелограмм]]

-	~~<br>~~

	'''Я предлагаю 10 дополнительных свойств:'''<br>		'''Я предлагаю 10 дополнительных свойств:'''<br>
Строка 225:		Строка 223:
	[[Image:28032011 22.jpg\|200px\|О ходе шахматного коня]]		[[Image:28032011 22.jpg\|200px\|О ходе шахматного коня]]

-	Старинная задача о ходе шахматного коня:	+	''Старинная задача о ходе шахматного коня''

	'''Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.'''<br>		'''Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.'''<br>

User16 в 09:02, 27 декабря 2012

2012-12-27T09:02:53Z

Внесённые изменения

User8 в 18:46, 28 марта 2011

2011-03-28T18:46:35Z

← Предыдущая		Версия 18:46, 28 марта 2011
Строка 7:		Строка 7:
	=== Цели урока: ===		=== Цели урока: ===

-	*Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: ~~“ Медиана равнобедренного треугольника ”~~; выработка основных навыков.	+	*Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “параллелограмм”; выработка основных навыков.
	*Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.		*Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
	*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.		*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Строка 13:		Строка 13:
	=== <br>Задачи урока: ===		=== <br>Задачи урока: ===

-	*Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
	*Проверить умение учащихся решать задачи.		*Проверить умение учащихся решать задачи.

Строка 20:		Строка 19:
	=== План урока: ===		=== План урока: ===

-	#Введение.	+	#Введение.
-	#Частные виды параллелограмма.	+	#Частные виды параллелограмма.
-	#Теоретическая часть.	+	#Теоретическая часть.
-	#Практическая часть.	+	#Практическая часть.
	#Дополнительный материал.		#Дополнительный материал.

Строка 217:		Строка 216:
	----		----

-	=== <span ~~class="mw-headline"~~ id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"> <span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:~~" class="mw-headline~~"><span ~~class="mw-headline"~~ id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"><u>Интересный факт:</u></span></span></span> ===	+	=== <span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:" class="mw-headline"> <span class="mw-headline" id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"><span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:" class="mw-headline"><u>Интересный факт:</u></span></span></span> ===

	'''О ходе шахматного коня.'''<br>		'''О ходе шахматного коня.'''<br>

User8 в 18:35, 28 марта 2011

2011-03-28T18:35:03Z

← Предыдущая		Версия 18:35, 28 марта 2011
Строка 20:		Строка 20:
	=== План урока: ===		=== План урока: ===

-	#~~Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа~~.~~<br>~~	+	#Введение.
-	#~~Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы~~.~~<br>~~	+	#Частные виды параллелограмма.
-	#~~Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения~~.~~<br>~~	+	#Теоретическая часть.
-	#~~Задание для самостоятельной проверки~~.	+	#Практическая часть.
		+	#Дополнительный материал.

	<br>		<br>
Строка 216:		Строка 217:
	----		----

-	=== <span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:~~" class="mw-headline~~"> <span ~~class="mw-headline"~~ id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"><span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:~~" class="mw-headline~~"><u>Интересный факт:</u></span></span></span> ===	+	=== <span class="mw-headline" id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"> <span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:" class="mw-headline"><span class="mw-headline" id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"><u>Интересный факт:</u></span></span></span> ===

	'''О ходе шахматного коня.'''<br>		'''О ходе шахматного коня.'''<br>

User8 в 18:32, 28 марта 2011

2011-03-28T18:32:15Z

Внесённые изменения

User8: Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

2011-03-28T07:09:46Z

Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс. Полные уроки|Математика 8 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Параллелограмм. Полные уроки'''

----

ТЕМА УРОКА: '''Параллелограмм.''' 

=== Цели урока: ===

*Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “ Медиана равнобедренного треугольника ”; выработка основных навыков.
*Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

=== Задачи урока: ===

*Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
*Проверить умение учащихся решать задачи.

 

=== План урока: ===

#Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа. 
#Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы. 
#Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения. 
#Задание для самостоятельной проверки.

 

=== Введение. ===

Для начала я решил узнать, откуда  появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу ''Проклу'', был введен ''Евклидом''. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. 

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: ''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам''. Евклид не упоминает о том, что ''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

'''Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке.''' Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на ''теореме Евклида о свойствах  параллелограмма''.

Само же понятие параллелограмм от греч. '''Parallelos — параллельный''' и '''gramme — линия'''. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «'''параллельные линии'''». 

 

=== Частные виды параллелограмма. ===

'''Известны некоторые виды параллелограмма: '''                                                                

#''Прямоугольник.''
#''Ромб.''
#''Квадрат.''

 '''Прямоугольник '''- параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: '''Диагонали прямоугольника равны'''. [[Image:28032011 0.jpg]] ''Прямоугольник''

 '''Ромб '''- параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: '''Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам'''. [[Image:28032011 1.jpg]] ''Ромб'' Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. '''Квадрат '''- равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур. [[Image:28032011 2.jpg]] ''Квадрат'' Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - '''четырехугольник'''. 

 

=== Теоретическая часть. ===

==== Определения: ====

[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''(от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. 

[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''— четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. [[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''— всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат, прямоугольник). [[Image:O.gif]] '''Параллелограмм''', четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной стороны на длину перпендикуляра, опущенного на нее с противоположной стороны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. [[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''- четырехугольник, каждая пара противоположных сторон которого параллельны и равны между собой.

''Все эти определения верны и по своему дополняют друг друга.''

 

==== Свойства параллелограмма: ====

[[Image:28032011 3.gif]]

 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Противоположные стороны параллелограма равны.''' ''Доказательство''. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников. 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны: '''∠'''А='''∠'''С и '''∠'''В='''∠'''D.''' Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD. 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.''' Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами. 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.''' ''Доказательство''. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

 

==== Признаки параллелограмма: ====

*Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
*Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
*Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
*Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
*Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника KLMN являются вершинами параллелограмма Вариньона.

[[Image:28032011 5.png]]

*Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

 

[[Image:28032011 4.gif]]

 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.''' Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом. В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат. 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.''' Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360о, то ∠А+∠В=180о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению. 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.''' Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению. 

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.''' Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.''' Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом. 

 

 

 

 

 

----

=== Интересный факт: ===

 

----

'''Вопросы:'''

#Сформулируйте определение окружности и круга?
#Что такое Софизмы? 
#Какая разница между диаметром и радиусом?
#Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?

'''Список использованных источников:'''

#Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
#«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
#Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
#Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

----

'''Над уроком работали:'''

Самылина М.В.

Потурнак С.А. 

----

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

[[Category:Математика_8_класс]]