User11 в 11:00, 9 марта 2011

2011-03-09T11:00:28Z

← Предыдущая		Версия 11:00, 9 марта 2011
Строка 191:		Строка 191:
	----		----

-	~~Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.~~	+	<u>'''Над уроком работали:'''</u>

-	~~Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit~~.~~com/index.php?do=feedback напишите нам]~~.	+	Самылина М.В.

-	~~Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь~~ - [http://xvatit.com/forum/ ~~Образовательный форум~~].	+	Постурнак С.А.
		+
		+	Обух Г.Н.
		+
		+	----
		+
		+	Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

	[[Category:Математика_7_класс]]		[[Category:Математика_7_класс]]

User8 в 09:09, 14 февраля 2011

2011-02-14T09:09:19Z

Внесённые изменения

User8: Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

2011-02-14T08:04:07Z

Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Окружность, вписанная в треугольник. Полные уроки'''

----

ТЕМА УРОКА: '''Окружность, вписанная в треугольник.''' 

=== Цели урока: ===

*Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Окружность, вписанная в треугольник”; выработка основных навыков.
*Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

=== Задачи урока: ===

*Углубить знания по теме «Вписанный окружности в треугольниках»
*Систематизировать знания по этой теме
*Подготовиться к решению задач повышенной сложности. 
*Проверить умение учащихся решать задачи.

 

=== План урока: ===

#Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа. 
#Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы. 
#Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения. 
#Задание для самостоятельной проверки.

 

 

=== Теоретическая часть. ===

'''[[Image:O.gif]] ОПРЕДЕЛЕНИЕ''': Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

'''[[Image:O.gif]] ОПРЕДЕЛЕНИЕ''': Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

[[Image:14022011 1.jpg]]

'''[[Image:O.gif]] ОПРЕДЕЛЕНИЕ''': Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны. В выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.

[[Image:14022011 0.png]]

 

'''[[Image:T.gif]] ТЕОРЕМА''': В любой треугольник можно вписать окружность.

''Доказательство.'' 

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. '''Теорема доказана.''' 

 

'''[[Image:T.gif]] ТЕОРЕМА''': Центр окружности, вписанной в треугольник является точкой пересечения его биссектрис.

''Доказательство.''

Пусть АВС – данный треугольник, О – центр вписанной в него окружности, P, K и Q – точки касания окружности со сторонами треугольника (Рис. 63). Прямоугольные треугольники АОР и АОК равны по гипотенузе и катетам. У них: АО – общая, OP=OK равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАР и ОАК. Это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. '''Теорема доказана.''' 

 

'''ЗАМЕЧАНИЕ:'''

#Отметим, что '''в треугольник можно вписать только одну окружность'''. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
#В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить” окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить”  окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т. е. нельзя вписать окружность. 

[[Image:14022011 2.jpg]] 

 

=== Построение окружности, вписанной в треугольник. ===

{| width="100%" cellspacing="0" cellpadding="0" border="0"
|-
| [[Image:14022011 3.gif]]
| ''Построим биссектрису РC=CD.''
|-
| [[Image:14022011 5.gif]]
| ''Построим биссектрису РA=AK. Точка О - центр искомой окружности по свойству окружности, вписанной в треугольник''
|-
| [[Image:14022011 6.gif]] 
| ''Построим перпендикуляр OE из т.O на прямую AB ''
|-
| [[Image:14022011 7.gif]] 
| ''Построим Окр(O, OE) ''
|}

 

=== Практическая часть. ===

'''Задача №1.''' 

''Дано: ''АВС — данный треугольник; О — центр вписанной в него окружности; D, Е и F — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 27).

''Доказать:''

''Доказательство.'' Прямоугольные треугольники AOD иАОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза ОА — общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника. 

 '''Задача №2.''' 

''Дано:'' ABC — данный треугольник, О — точка пересечения биссектрис, М, L и К — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 28).

''Доказать:'' О — центр окружности, вписанной в АВС.

''Доказательство.'' Проведем из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 28). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то О К = OL = = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K L M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана.

'''''Замечание.''''' Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. 

[[Image:14022011 8.jpg]] 

 

 

----

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

[[Category:Математика_7_класс]]

Окружность, вписанная в треугольник. Полные уроки - История изменений

User11 в 11:00, 9 марта 2011

User8 в 09:09, 14 февраля 2011

User8: Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»