Обратная теорема. Полные уроки - История изменений

User11 в 14:25, 30 марта 2011

2011-03-30T14:25:47Z

← Предыдущая		Версия 14:25, 30 марта 2011
Строка 127:		Строка 127:
	Самылина М.В.		Самылина М.В.

-	~~Постурнак~~ С.А.	+	Потурнак С.А.

	Муха Р.Л.		Муха Р.Л.

User11 в 09:56, 9 марта 2011

2011-03-09T09:56:55Z

← Предыдущая		Версия 09:56, 9 марта 2011
Строка 75:		Строка 75:
	Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана.<br>		Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана.<br>

-	[[Image:~~14122010_4~~.jpg]]<br>	+	[[Image:14122010 4.jpg]]<br>

-	[[Image:~~14122010_3~~.jpg]]	+	[[Image:14122010 3.jpg]]

-	[[Image:~~14122010_6~~.jpg\|354x217px]]	+	[[Image:14122010 6.jpg\|354x217px\|14122010 6.jpg]]

-	[[Image:~~14122010_5~~.jpg]]	+	[[Image:14122010 5.jpg]]

	----		----
Строка 119:		Строка 119:
	#Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений Автор: Дудницын Юрий Павлович		#Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений Автор: Дудницын Юрий Павлович
	#Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)		#Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)
-	#Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л. Г.<br>	+	#Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л. Г.'''<u><br></u>'''

	----		----

-	~~Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.~~	+	'''<u>Над уроком работали:</u>'''

-	~~Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit~~.~~com/index.php?do=feedback напишите нам]~~.	+	Самылина М.В.

-	~~Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit~~.~~com/forum/ Образовательный форум]~~.	+	Постурнак С.А.

-	~~<br>~~	+	Муха Р.Л.
		+
		+	----
		+
		+
		+
		+	Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

	[[Category:Математика_7_класс]]		[[Category:Математика_7_класс]]

User8 в 17:14, 14 декабря 2010

2010-12-14T17:14:16Z

← Предыдущая		Версия 17:14, 14 декабря 2010
Строка 75:		Строка 75:
	Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана.<br>		Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана.<br>

-	<br>	+	[[Image:14122010_4.jpg]]<br>
		+
		+	[[Image:14122010_3.jpg]]
		+
		+	[[Image:14122010_6.jpg\|354x217px]]
		+
		+	[[Image:14122010_5.jpg]]

	----		----

User8 в 16:48, 14 декабря 2010

2010-12-14T16:48:36Z

← Предыдущая		Версия 16:48, 14 декабря 2010
Строка 3:		Строка 3:
	----		----

-	ТЕМА УРОКА: <u>'''Обратная теорема'''</u>	+	<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 7 класс, Обратная теорема</metakeywords>ТЕМА УРОКА: <u>'''Обратная теорема'''</u>

	Цели урока:		Цели урока:

User8: Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

2010-12-14T16:45:59Z

Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс. Полные уроки|Математика 7 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Обратная теорема. Полные уроки'''

----

ТЕМА УРОКА: '''Обратная теорема'''

Цели урока:

*Выработка основных навыков.
*Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

 Задачи урока:

*Формировать навыки в понимании заданий, и решении задач.
*Проверить умение учащихся решать задачи.

 

План урока:

#Обратная теорема.
#Необходимые и достаточные условия (математические). 
#Лобачевского геометрия. 
#Примет обратной теоремы с доказательством.

 

 

'''Обратная теорема.'''

Обратная теорема, теорема, условием которой служит заключение исходной теоремы, а заключением — условие. Обратной к Обратная теорема будет исходная теорема. Таким образом, Обратные теоремы взаимно обратны. Например, теоремы: «''если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны''» и «''если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны''» — являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: «е''сли число делится на 6, то оно делится на 3''» — верна, а Обратная теорема: «''если число делится на 3, то оно делится на 6''» — неверна. Даже если Обратная теорема верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема «''две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются''», так и обратная к ней теорема «''две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр''». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. Обратная теорема равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения. 

 ''Что же такое необходимое и достаточное условие?!!'' '''Необходимые и достаточные условия.''' Необходимыми условиями правильности утверждения называются такие условия, без соблюдения которых утверждение заведомо не может быть верным, а достаточными условиями правильности утверждения называются условия, при выполнении которых утверждение заведомо верно. Например, необходимым условием делимости целого числа на 2 является то, чтобы число, будучи записано в десятичной системе счисления, не кончалось цифрой 7. Условие это необходимо, но не достаточно, так как, например, число 23 не кончается цифрой 7 и всё-таки не делится на 2. Достаточным условием делимости числа на 2 является то, чтобы оно кончалось цифрой 0. Это условие достаточно, но не необходимо, так как число 38 не кончается цифрой 0 и все-таки делится на 2. Обычно употребляемый признак делимости на 2 (чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра делилась на 2) является примером условия одновременно необходимого и достаточного. Часто выражение «необходимо и достаточно» заменяется выражением «''тогда и только тогда''» или же выражением «''в том и только в том случае''». ''Необходимые и достаточные условия обладают наибольшей познавательной ценностью.'' В сложных математических проблемах разыскание удобных для пользования необходимые и достаточные условия бывает иногда чрезвычайно трудным. В таких случаях достаточные условия стараются сделать, возможно, более широкими, т. е. охватывающими возможно большее число случаев, в которых интересующий нас факт всё ещё имеет место, а необходимые условия — возможно более узкими, т. е. охватывающими возможно меньше лишних случаев, в которых изучаемый факт уже не имеет места. Таким образом, достаточные условия постепенно сближаются с необходимыми. 

''Теперь немного подробней рассмотрим Лобачевского геометрию, о какой мы вспоминали выше. ''

'''Лобачевского геометрия''', геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В Лобачевского геометрия вместо неё принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям. Тем не менее как эта аксиома, так и вся Лобачевского геометрия имеет вполне реальный смысл. 

 

'''Рассмотрим реальный примет обратной теоремы с доказательством.''' 

'''[[Image:T.gif]] Теорема о трех перпендикулярах.''' 

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. 

[[Image:14122010 0.GIF]] 

''Доказательство.'' 

Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости "a", АС – наклонная и "с" - прямая в плоскости "a", проходящая через основание наклонной СK. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости "a" (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой "с". Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость "b" (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим  в плоскости "b", это ВС по условию и СК по построению,  значит она  перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой АС. Другими словами наклонная АС перпендикулярна прямой "с", лежащей в плоскости "a". 

 

'''[[Image:T.gif]] Обратная теореме о трех перпендикулярах.''' 

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

[[Image:14122010 1.GIF]] 

''Доказательство.'' 

Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости "a", АС – наклонная и "с" – прямая в плоскости "a", проходящая через основание наклонной СK. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости "a" (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой "с". Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость "b" (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая "с" перпендикулярна двум прямым  лежащим  в плоскости "b", это АС по условию и СК по построению,  значит она перпендикулярна и  любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой "с", лежащей в плоскости "a". 

 

''Еще один вид интерпретации данной теоремы:'' 

'''[[Image:T.gif]] Теорема.''' Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. [[Image:14122010 2.jpg]] 

''Доказательство.'' 

Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана. 

 

----

'''Интересный факт:'''

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют тре-бованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми на-чинается первая книга «Начал».

#Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).
#Линия есть длина без ширины.
#Границы линии суть точки.
#Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отноше-нию ко всем своим точкам.
#Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
#Границы поверхности суть линии.
#Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по от-ношению ко всем прямым, на ней лежащим.
#Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных  в одной плоскости.

''Такие определения нельзя считать логически конкретными.'' 

Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, грани-ца и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. 

В-третьих, не-которые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался. 

----

 

'''Вопросы:''' 

#Что такое Обратная теорема? 
#В чем отличие между необходимыми и достаточными условиями? 
#Что гласит теорема о трех перпендикулярах? 

'''Список использованных источников:'''

#Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
#Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений Автор: Дудницын Юрий Павлович
#Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)
#Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л. Г. 

----

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

 

[[Category:Математика_7_класс]]