Иррациональные уравнения - История изменений

User16 в 17:32, 3 сентября 2015

2015-09-03T17:32:38Z

← Предыдущая		Версия 17:32, 3 сентября 2015
Строка 90:		Строка 90:

	<br>		<br>
-	[[Image:8kl_Irracion02.jpg\|~~500x500px~~\|иррац.числа]]	+	[[Image:8kl_Irracion02.jpg\|200x200px\|иррац.числа]]
	<br>		<br>

Строка 109:		Строка 109:

	<br>		<br>
-	[[Image:8kl_Irracion04.jpg\|~~500x500px~~\|иррац.числа]]	+	[[Image:8kl_Irracion04.jpg\|200x200px\|иррац.числа]]
	<br>		<br>

User16 в 17:29, 3 сентября 2015

2015-09-03T17:29:31Z

Внесённые изменения

User17 в 13:10, 8 октября 2012

2012-10-08T13:10:40Z

Внесённые изменения

User17 в 10:50, 8 октября 2012

2012-10-08T10:50:04Z

Внесённые изменения

User17 в 08:59, 8 октября 2012

2012-10-08T08:59:10Z

Внесённые изменения

User16 в 08:38, 14 июня 2010

2010-06-14T08:38:15Z

← Предыдущая		Версия 08:38, 14 июня 2010
Строка 53:		Строка 53:
	[[Image:14-06-90.jpg]] возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в <br>исходное иррациональное уравнение.		[[Image:14-06-90.jpg]] возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в <br>исходное иррациональное уравнение.

-	Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = фс . Тогда получим ~~2у2~~ + у - 3 = 0 — квадратное ~~<br>~~уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у1 = 1, <br>3 <br>у2 = - -. Таким образом, задача свелась к решению двух <br>~~с* <br>уравнений~~: <br>~~3 <br>2"~~ <br>Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не ~~<br>~~имеет корней (вы же помните, что у]х принимает только ~~не- <br>отрицательные~~ значения). <br>Ответ: 1. <br>Завершим этот параграф достаточно серьезным ~~теоретиче- <br>ским~~ разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили ~~некото- <br>рый~~ опыт в решении различных уравнений: линейных, ~~квадрат- <br>ных~~, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при ~~ре- <br>шении~~ уравнений выполняют различные преобразования, <br>например: ~~<br>~~член уравнения переносят из одной части уравнения в ~~дру- <br>гую~~ с противоположным знаком; ~~<br>~~обе части уравнения умножают или делят на одно и то же ~~<br>~~отличное от нуля число; ~~<br>~~освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение ~~<br>р(х) <br>~~= 0 уравнением р (х) = 0; ~~<br>~~обе части уравнения возводят в квадрат. <br>Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате ~~<br>~~некоторых преобразований могли появиться посторонние ~~кор- <br>ни~~, а потому приходилось быть бдительными: проверять все ~~<br>~~найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все ~~<br>~~это с теоретической точки зрения. <br>Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и ~~<br>~~r(x) = s (х) называют равносильными, если они ~~<br>~~имеют одинаковые корни (или, в частности, ~~<br>~~если оба уравнения не имеют корней). <br>Обычно при решении уравнения стараются ~~<br>~~заменить данное уравнение более простым, но ~~<br>~~равносильным ему. Такую замену называют ~~рав- <br>носильным~~ преобразованием уравнения. <br>Равносильными преобразованиями ~~уравне- <br>ния~~ являются следующие преобразования: <br>1. Перенос членов уравнения из одной части ~~<br>~~уравнения в другую с противоположными ~~<br>~~знаками. <br>Например, замена уравнения ~~<br>~~2х + 5 = 7х - 8 ~~<br>~~уравнением ~~<br>~~2х - 7х = - 8 - 5 ~~<br>~~есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что <br>уравнения 2х + 5 = 7х -8и 2х - 7х = -8-5 равносильны. <br>2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и ~~<br>~~то же отличное от нуля число. <br>Например, замена уравнения ~~<br>~~0,~~5л;~~2 - 0,3* = 2 <br>~~уравнением~~ <br>~~Ъх2~~ - Зх = 20 <br>(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть ~~равносиль- <br>ное~~ преобразование уравнения. ~~<br>~~Неравносильными преобразованиями ~~уравне- <br>ния~~ являются следующие преобразования: ~~<br>~~1. Освобождение от знаменателей, содержащих ~~<br>~~переменные. <br>Например, замена уравнения <br>~~„2 л <br>х-2 х-~~2 <br>~~уравнением х2~~ = 4 есть неравносильное преобразование ~~урав- <br>нения~~. Дело в том, что уравнение хг = 4 имеет два корня: 2 и - ~~<br>~~2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не ~~<br>~~может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях ~~<br>~~мы говорили так: х = 2 — посторонний корень. ~~<br>~~2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. <br>Примеры приводить не будем, так как их было достаточно ~~<br>~~много в этом параграфе. <br>Если в процессе решения уравнения применялось одно из ~~<br>~~указанных неравносильных преобразований, то все ~~найден- <br>ные~~ корни надо проверить подстановкой в исходное ~~уравне- <br>ние~~, поскольку среди них могут оказаться посторонние ~~<br>~~корни. ~~<br>11 Мордкович. Алгебра, учебник~~ <br><br><br>	+	Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = [[Image:14-06-91.jpg]] . Тогда получим 2у<sub>2</sub> + у - 3 = 0 — квадратное уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у<sub>1</sub> = 1, у<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-92.jpg]]. Таким образом, задача свелась к решению двух <br>
		+
		+	[[Image:14-06-93.jpg]]<br><br>Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не имеет корней (вы же помните, что [[Image:14-06-94.jpg]] принимает только неотрицательные значения). <br>Ответ: 1. <br>Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретическим разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, <br>например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение [[Image:14-06-95.jpg]]= 0 уравнением р (х) = 0; обе части уравнения возводят в квадрат. <br>
		+
		+	Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все это с теоретической точки зрения. <br>
		+
		+	'''''Определение.''''' Два уравнения f (x) = g (x) и r(x) = s (х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней). <br>
		+
		+	Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения. <br>
		+
		+	Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования: <br>
		+
		+	1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками. <br>Например, замена уравнения 2х + 5 = 7х - 8 уравнением 2х - 7х = - 8 - 5 есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что <br>
		+
		+	уравнения 2х + 5 = 7х -8    и 2х - 7х = -8 - 5  равносильны. <br>
		+
		+	2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. <br>Например, замена уравнения 0,5x<sup>2 </sup>- 0,3x = 2 уравнением 5х<sup>2</sup> - Зх = 20 <br>(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения.
		+
		+	Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
		+
		+	1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные. <br>Например, замена уравнения [[Image:14-06-96.jpg]] уравнением х<sup>2</sup> = 4 есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение х<sup>2</sup> = 4 имеет два корня: 2 и - 2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: х = 2 — посторонний корень.
		+
		+	2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. <br>Примеры приводить не будем, так как их было достаточно много в этом параграфе. <br>Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни. <br><br><br>

	<br>		<br>

User16 в 08:23, 14 июня 2010

2010-06-14T08:23:40Z

← Предыдущая		Версия 08:23, 14 июня 2010
Строка 3:		Строка 3:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Иррациональные уравнения'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Иррациональные уравнения'''

-	'''<br>'''	+	'''<br>'''

		+	<br>

-		+	'''                            ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ '''
-	'''                            ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ '''	+

	<br>Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным. <br>Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение, мы с этим уже встречались (см. замечание к примеру 3 из § 22). Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения. <br>Рассмотрим иррациональное уравнение		<br>Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным. <br>Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение, мы с этим уже встречались (см. замечание к примеру 3 из § 22). Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения. <br>Рассмотрим иррациональное уравнение
Строка 43:		Строка 43:
	[[Image:14-06-83.jpg]]<br><br>т. е. .[[Image:14-06-84.jpg]] = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения. <br>Ответ: 12.		[[Image:14-06-83.jpg]]<br><br>т. е. .[[Image:14-06-84.jpg]] = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения. <br>Ответ: 12.

		+	<br>

-		+	[[Image:14-06-85.jpg]] <br>Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:
-	[[Image:14-06-85.jpg]]	+
-	<br>Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:	+

	[[Image:14-06-86.jpg]]<br><br>Далее находим: <br>9 (x + 2) = 4 - 4х + х<sup>2</sup>; <br>9х + 18 - 4 + 4х - x<sup>2</sup> = 0; <br>- x<sup>2</sup> + 13x + 14 = 0; <br>x<sup>2</sup> - 13x - 14 = 0; <br>x<sub>1</sub> = 14,  x<sub>2</sub> = -1. <br><br>Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим [[Image:14-06-87.jpg]] — неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень. <br>Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим <br>[[Image:14-06-88.jpg]] — верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2). <br>О т в е т: - 1.		[[Image:14-06-86.jpg]]<br><br>Далее находим: <br>9 (x + 2) = 4 - 4х + х<sup>2</sup>; <br>9х + 18 - 4 + 4х - x<sup>2</sup> = 0; <br>- x<sup>2</sup> + 13x + 14 = 0; <br>x<sup>2</sup> - 13x - 14 = 0; <br>x<sub>1</sub> = 14,  x<sub>2</sub> = -1. <br><br>Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим [[Image:14-06-87.jpg]] — неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень. <br>Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим <br>[[Image:14-06-88.jpg]] — верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2). <br>О т в е т: - 1.

-	'''Пример 4.''' Решить уравнение <br>[[Image:14-06-89.jpg]]<br>Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде	+	'''Пример 4.''' Решить уравнение <br>[[Image:14-06-89.jpg]]<br>Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде
-		+
-	[[Image:14-06-89.jpg]] возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в <br>исходное иррациональное уравнение.	+

-	~~Но мы применим более изящный способ~~: введем новую переменную у = фс . Тогда получим 2у2 + у - 3 = 0 — квадратное <br>уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у1 = 1, <br>3 <br>у2 = - -. Таким образом, задача свелась к решению двух <br>с* <br>уравнений: <br>3 <br>2" <br>Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не <br>имеет корней (вы же помните, что у]х принимает только не- <br>отрицательные значения). <br>Ответ: 1. <br>Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретиче- <br>ским разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некото- <br>рый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадрат- <br>ных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при ре- <br>шении уравнений выполняют различные преобразования, <br>например: <br>член уравнения переносят из одной части уравнения в дру- <br>гую с противоположным знаком; <br>обе части уравнения умножают или делят на одно и то же <br>отличное от нуля число; <br>освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение <br>р(х) <br>= 0 уравнением р (х) = 0; <br>обе части уравнения возводят в квадрат~~. <br>Конечно~~, вы обратили внимание на то, что в результате <br>некоторых преобразований могли появиться посторонние кор- <br>ни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все <br>найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все <br>это с теоретической точки зрения. <br>Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и <br>r(x) = s (х) называют равносильными, если они <br>имеют одинаковые корни (или, в частности, <br>если оба уравнения не имеют корней). <br>Обычно при решении уравнения стараются <br>заменить данное уравнение более простым, но <br>равносильным ему. Такую замену называют рав- <br>носильным преобразованием уравнения. <br>Равносильными преобразованиями уравне- <br>ния являются следующие преобразования: <br>1. Перенос членов уравнения из одной части <br>уравнения в другую с противоположными <br>знаками. <br>Например, замена уравнения <br>2х + 5 = 7х - 8 <br>уравнением <br>2х - 7х = - 8 - 5 <br>есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что <br>уравнения 2х + 5 = 7х -8и 2х - 7х = -8-5 равносильны. <br>2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и <br>то же отличное от нуля число. <br>Например, замена уравнения <br>0,5л;2 - 0,3* = 2 <br>уравнением <br>Ъх2 - Зх = 20 <br>(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносиль- <br>ное преобразование уравнения. <br>Неравносильными преобразованиями уравне- <br>ния являются следующие преобразования: <br>1. Освобождение от знаменателей, содержащих <br>переменные. <br>Например, замена уравнения <br>„2 л <br>х-2 х-2 <br>уравнением х2 = 4 есть неравносильное преобразование урав- <br>нения. Дело в том, что уравнение хг = 4 имеет два корня: 2 и - <br>2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не <br>может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях <br>мы говорили так: х = 2 — посторонний корень. <br>2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. <br>Примеры приводить не будем, так как их ~~было достаточно <br>много~~ в ~~этом параграфе.~~ <br>Если в процессе решения уравнения применялось одно из <br>указанных неравносильных преобразований, то все найден- <br>ные корни надо проверить подстановкой в исходное ~~уравне- <br>ние, поскольку среди них могут оказаться посторонние <br>корни~~. ~~<br>11 Мордкович. Алгебра, учебник <br><br><br>~~	+	[[Image:14-06-90.jpg]] возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в <br>исходное иррациональное уравнение.

		+	Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = фс . Тогда получим 2у2 + у - 3 = 0 — квадратное <br>уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у1 = 1, <br>3 <br>у2 = - -. Таким образом, задача свелась к решению двух <br>с* <br>уравнений: <br>3 <br>2" <br>Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не <br>имеет корней (вы же помните, что у]х принимает только не- <br>отрицательные значения). <br>Ответ: 1. <br>Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретиче- <br>ским разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некото- <br>рый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадрат- <br>ных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при ре- <br>шении уравнений выполняют различные преобразования, <br>например: <br>член уравнения переносят из одной части уравнения в дру- <br>гую с противоположным знаком; <br>обе части уравнения умножают или делят на одно и то же <br>отличное от нуля число; <br>освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение <br>р(х) <br>= 0 уравнением р (х) = 0; <br>обе части уравнения возводят в квадрат. <br>Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате <br>некоторых преобразований могли появиться посторонние кор- <br>ни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все <br>найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все <br>это с теоретической точки зрения. <br>Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и <br>r(x) = s (х) называют равносильными, если они <br>имеют одинаковые корни (или, в частности, <br>если оба уравнения не имеют корней). <br>Обычно при решении уравнения стараются <br>заменить данное уравнение более простым, но <br>равносильным ему. Такую замену называют рав- <br>носильным преобразованием уравнения. <br>Равносильными преобразованиями уравне- <br>ния являются следующие преобразования: <br>1. Перенос членов уравнения из одной части <br>уравнения в другую с противоположными <br>знаками. <br>Например, замена уравнения <br>2х + 5 = 7х - 8 <br>уравнением <br>2х - 7х = - 8 - 5 <br>есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что <br>уравнения 2х + 5 = 7х -8и 2х - 7х = -8-5 равносильны. <br>2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и <br>то же отличное от нуля число. <br>Например, замена уравнения <br>0,5л;2 - 0,3* = 2 <br>уравнением <br>Ъх2 - Зх = 20 <br>(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносиль- <br>ное преобразование уравнения. <br>Неравносильными преобразованиями уравне- <br>ния являются следующие преобразования: <br>1. Освобождение от знаменателей, содержащих <br>переменные. <br>Например, замена уравнения <br>„2 л <br>х-2 х-2 <br>уравнением х2 = 4 есть неравносильное преобразование урав- <br>нения. Дело в том, что уравнение хг = 4 имеет два корня: 2 и - <br>2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не <br>может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях <br>мы говорили так: х = 2 — посторонний корень. <br>2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. <br>Примеры приводить не будем, так как их было достаточно <br>много в этом параграфе. <br>Если в процессе решения уравнения применялось одно из <br>указанных неравносильных преобразований, то все найден- <br>ные корни надо проверить подстановкой в исходное уравне- <br>ние, поскольку среди них могут оказаться посторонние <br>корни. <br>11 Мордкович. Алгебра, учебник <br><br><br>

		+	<br>

	<sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 8 класса [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 8 класса [[Математика\|скачать]]</sub>

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-14T08:17:31Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Иррациональные уравнения</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Иррациональные уравнения'''

''' '''

'''                            ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ '''

 Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным. Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение, мы с этим уже встречались (см. замечание к примеру 3 из § 22). Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения. Рассмотрим иррациональное уравнение

[[Image:14-06-70.jpg]] Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2х + 1 = З2. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению 2х + 1 = 9, возведя в квадрат обе части иррационального уравнения. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений. Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня? Из уравнения 2х + 1 = 9 находим х = 4. Это — и корень уравнения 2х + 1 = 9, и заданного иррационального уравнения. Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям. Рассмотрим, например, иррациональное уравнение

[[Image:14-06-71.jpg]] Возведя обе его части в квадрат, получим

[[Image:14-06-72.jpg]] Далее имеем: 2x-4x = -7 +5; -2x = -2; х = 1. Но значение х - 1, будучи корнем рационального уравнения 2x - 5 = 4x - 7, не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив 1 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим [[Image:14-06-73.jpg]] . Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла? В подобных случаях говорят: х = 1 — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней. Решим иррациональное уравнение

[[Image:14-06-74.jpg]] - Корни этого уравнения можно найти устно, как мы это делали в конце предыдущего параграфа: их произведение равно - 38, а сумма равна - 17; нетрудно догадаться, что это — числа 2 и - 19. Итак, х1 = 2, х2 = - 19. Подставив значение 2 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим

[[Image:14-06-75.jpg]] Это неверно. Подставив значение - 19 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим

[[Image:14-06-76.jpg]] Это также неверно. Каков же вывод? Оба найденные значения — посторонние корни. Иными словами, заданное иррациональное уравнение, как и предыдущее, не имеет корней. Посторонний корень — не новое для вас понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка. Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).

Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Используя этот вывод, рассмотрим несколько примеров.

'''Пример 1.''' Решить уравнение

[[Image:14-06-77.jpg]] Решение. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:

[[Image:14-06-78.jpg]] Далее последовательно имеем

5х - 16 = х2 - 4х + 4; х2 - 4х + 4 - 5х + 16 = 0; х2 - 9х + 20 = 0; х1 = 5, х2 = 4. Проверка. Подставив х = 5 в уравнение (1), получим [[Image:14-06-79.jpg]] — верное равенство. Подставив х = 4 в уравнение (1), получим [[Image:14-06-80.jpg]] — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения (1). О т в е т: 4; 5.

'''Пример 2.''' Решить уравнение [[Image:14-06-81.jpg]] (это уравнение встретилось нам в § 22 и его решение мы «отложили до лучших времен»).иррационального уравнения, получим 2x2 + 8* + 16 = (44 - 2х)2. Далее имеем 2х2 + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x2; - 2х2 + 184x - 1920 = 0; х2 - 92x + 960 = 0; х1 = 80, х2 = 12. Проверка. Подставив х = 80 в заданное иррациональное уравнение, получим

[[Image:14-06-82.jpg]] это, очевидно, неверное равенство, поскольку в его правой части содержится отрицательное число, а в левой — положительное число. Значит, х = 80 — посторонний корень для данного уравнения.

Подставив х = 12 в заданное иррациональное уравнение, получим

[[Image:14-06-83.jpg]] т. е. .[[Image:14-06-84.jpg]] = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения. Ответ: 12.

[[Image:14-06-85.jpg]]
 Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:

[[Image:14-06-86.jpg]] Далее находим: 9 (x + 2) = 4 - 4х + х2; 9х + 18 - 4 + 4х - x2 = 0; - x2 + 13x + 14 = 0; x2 - 13x - 14 = 0; x1 = 14,  x2 = -1. Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим [[Image:14-06-87.jpg]] — неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень. Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим [[Image:14-06-88.jpg]] — верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2). О т в е т: - 1.

'''Пример 4.''' Решить уравнение [[Image:14-06-89.jpg]] Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде

[[Image:14-06-89.jpg]] возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в исходное иррациональное уравнение.

Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = фс . Тогда получим 2у2 + у - 3 = 0 — квадратное уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у1 = 1, 3 у2 = - -. Таким образом, задача свелась к решению двух с* уравнений: 3 2" Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не имеет корней (вы же помните, что у]х принимает только не- отрицательные значения). Ответ: 1. Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретиче- ским разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некото- рый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадрат- ных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при ре- шении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в дру- гую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение р(х) = 0 уравнением р (х) = 0; обе части уравнения возводят в квадрат. Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние кор- ни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все это с теоретической точки зрения. Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и r(x) = s (х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней). Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют рав- носильным преобразованием уравнения. Равносильными преобразованиями уравне- ния являются следующие преобразования: 1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками. Например, замена уравнения 2х + 5 = 7х - 8 уравнением 2х - 7х = - 8 - 5 есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения 2х + 5 = 7х -8и 2х - 7х = -8-5 равносильны. 2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. Например, замена уравнения 0,5л;2 - 0,3* = 2 уравнением Ъх2 - Зх = 20 (обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносиль- ное преобразование уравнения. Неравносильными преобразованиями уравне- ния являются следующие преобразования: 1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные. Например, замена уравнения „2 л х-2 х-2 уравнением х2 = 4 есть неравносильное преобразование урав- нения. Дело в том, что уравнение хг = 4 имеет два корня: 2 и - 2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: х = 2 — посторонний корень. 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. Примеры приводить не будем, так как их было достаточно много в этом параграфе. Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найден- ные корни надо проверить подстановкой в исходное уравне- ние, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни. 11 Мордкович. Алгебра, учебник 

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], видеоматериал по математике для 8 класса [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].